Question

【題目】如圖，直線分別與x軸、y軸交于兩點，與直線交于點C（4，2）．

（1）點A坐標為（ ， ），B為（ ， ）；

（2）在線段上有一點E，過點E作y軸的平行線交直線于點F，設點E的橫坐標為m，當m為何值時，四邊形是平行四邊形；

（3）若點P為x軸上一點，則在平面直角坐標系中是否存在一點Q，使得四個點能構成一個菱形．若存在，求出所有符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（8，0）；（0，4）．（2）故當時，四邊形是平行四邊形；（3）Q點坐標為、、或．

【解析】

（1）由點C的坐標利用待定系數法即可求出直線l1的解析式，再分別令直線的解析式中求出對應的y、x值，即可得出點A、B的坐標；

（2）由點C的坐標利用待定系數法即可求出直線的解析式，結合點E的橫坐標即可得出點E、F的坐標，再根據平行四邊形的性質即可得出關于m的一元一次方程，解方程即可得出結論；

（3）分為邊和為對角線兩種情況討論．當為邊時，根據菱形的性質找出點P的坐標，結合A、B的坐標即可得出點Q的坐標；當為對角線時，根據三角形相似找出點P的坐標，再根據菱形對角線互相平分即可得出點Q的坐標．綜上即可得出結論．

解：（1）將點C（4，2）代入中，

得：，解得：，

∴直線為．

令中，則，

∴B（0，4）；

令中，則，

∴A（8，0）．

（2）∵點C（4，2）是直線上的點，

∴，解得：，

∴直線為．

∵點E的橫坐標為，

∴，

∴．

∵四邊形是平行四邊形，

∴，即，

解得：．

故當時，四邊形是平行四邊形．

（3）假設存在．

以為頂點的菱形分兩種情況：

①以為邊，如圖1所示．

∵點A（8，0），B（0，4），

∴．

∵以為頂點的四邊形為菱形，

∴或．

當時，或；

當時，點P（﹣8，0）．

當時，，即；

當P（）時，，即；

當時，，即．

②以為對角線，對角線的交點為M，如圖2所示．

∵點，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴點，即（3，0）．

∵以為頂點的四邊形為菱形，

∴點，即（5，4）．

綜上可知：若點P為x軸上一點，則在平面直角坐標系中存在一點Q，使得四個點能構成一個菱形，此時Q點坐標為、、或．