Question

【題目】如圖，是的直徑，為上一點連接，作交于點，點在的延長線上，經過點，且．

(1)求證；是的切線；

(2)若，的半徑為1，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）連接OC，根據垂直的定義得到∠AOF=90°，根據三角形的內角和得到∠ACE=90°+∠A，根據等腰三角形的性質得到∠OCE=90°，得到OC⊥CE，于是得到結論；
（2）根據圓周角定理得到∠ACB=90°，推出∠ACO=∠BCE，推出∠E=30°，利用30°直角三角形三邊比關系得到CE=，再根據扇形和三角形的面積公式即可得到結論．

解：（1）連接OC，

∵OF⊥AB，
∴∠AOF=90°，
∴∠A+∠AFO+90°=180°，
∵∠ACE+∠AFO=180°，
∴∠ACE=90°+∠A，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠ACE=90°+∠ACO=∠ACO+∠OCE，
∴∠OCE=90°，
∴OC⊥CE，
∴EM是⊙O的切線；

（2）連接BC,

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=∠BCE+∠BCO=90°，
∴∠ACO=∠BCE，
∵∠A=∠E，
∴∠A=∠ACO=∠BCE=∠E，
∴∠ABC=∠BCO+∠E=2∠A，
∴∠A=30°，

∴∠E=30°，
∴CE=OC=OB=

∴=