Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直徑，點P是CD延長線上的一點，且AP=AC．

（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若AB=4+ ，BC=2 ，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OA，

∵∠B=60°，

∴∠AOC=2∠B=120°，

又∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=30°，

又∵AP=AC，

∴∠P=∠ACP=30°，

∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，

∴OA⊥PA，

∴PA是⊙O的切線

（2）解：過點C作CE⊥AB于點E．

在Rt△BCE中，∠B=60°，BC=2 ，

∴BE= BC= ，CE=3，

∵AB=4+ ，

∴AE=AB﹣BE=4，

∴在Rt△ACE中，AC= =5，

∴AP=AC=5．

∴在Rt△PAO中，OA= ，

∴⊙O的半徑為 ．

【解析】（1）連接OA，根據圓周角定理求出∠AOC，再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=30°，再由AP=AC得出∠P=30°，繼而由∠OAP=∠AOC﹣∠P，可得出OA⊥PA，從而得出結論；（2）過點C作CE⊥AB于點E．在Rt△BCE中，∠B=60°，BC=2 ，于是得到BE= BC= ，CE=3，根據勾股定理得到AC= =5，于是得到AP=AC=5．解直角三角形即可得到結論．