Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，點G是⊙O上一點，AG交CD于點K，延長KD至點E，使KE=GE，分別延長EG、AB相交于點F．

（1）求證：EF是⊙O的切線；

（2）若AC∥EF，試探究KG、KD、GE之間的關系，并說明理由；

（3）在（2）的條件下，若sinE=，AK=2，求FG的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）連接OG，首先證明∠EGK=∠EKG，再證明∠HAK+∠KGE=90°，進而得到∠OGA+∠KGE=90°即GO⊥EF，進而證明EF是⊙O的切線；
（2）連接GD，由平行線的性質得到相等的角，進而根據相似三角形的判定得到△GKD∽△EKG，然后根據相似三角形的對應邊成比例可得證；

（3）連接OG，OC，根據平行線的性質得到∠E=∠ACH，然后根據已知的sinE=設出AH=3t，則AC=5t，CH=4t，然后根據勾股定理求出CH、AH的長，設⊙O半徑為r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3，由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，求出r的值，再由OG的長和tan∠OFG=tan∠CAH，利用三角函數在Rt△OGF中計算出FG的長．

證明：（1）如圖1，連接OG．

∵KE=EG，

∴∠EKG=∠EGK，

∵∠AKH=∠EKG，

∴∠EGK=∠AKH，

∴OA=OG，

∴∠OGA=∠OAK，

∵AB⊥CD，

∴∠AHK=90°，

∴∠AKH+∠OAG=90°，

∴∠OGA+∠EGK=90°，

∴∠OGE=90°，

∴EF是⊙O的切線；

（2）KG2=KDGE，理由是：

連接GD，如圖2，

∵AC∥EF，

∴∠C=∠E，

∵∠C=∠AGD，

∴∠E=∠AGD，

∵∠GKD=∠GKD，

∴△GKD∽△EKG，

∴，

∴KG2=KDEK，

由（1）得：EK=GE，

∴KG2=KDGE；

（3）連接OG，OC，如圖3所示，

∵AC∥EF，

∴∠E=∠ACH，

∵sinE=sin∠ACH=，

設AH=3t，則AC=5t，CH=4t，

∵KE=GE，AC∥EF，

∴CK=AC=5t，

∴HK=CK﹣CH=t．

在Rt△AHK中，根據勾股定理得AH2+HK2=AK2，

即（3t）2+t2=（2）2，解得t=±．

∴CH=4，AH=3，

設⊙O半徑為r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3，

由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，

即（r﹣3）2+（4）2=r2，解得r=，

∵EF為切線，

∴△OGF為直角三角形，

在Rt△OGF中，OG=，tan∠OFG=tan∠CAH===，

∴FG==．