Question

【題目】通過類比聯想、引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的．下面是一個案例．
原題：如圖①，點 分別在正方形 的邊 上， ，連接 ，則 ，試說明理由．

（1）思路梳理
因為 ，所以把 繞點 逆時針旋轉90°至 ，可使 與 重合．因為 ，所以 ，點 共線．
根據 ， 易證 ， 得 .請證明．
（2）類比引申
如圖②，四邊形 中， ， ，點 分別在邊 上， .若 都不是直角，則當 與 滿足等量關系時， 仍然成立，請證明．

（3）聯想拓展
如圖③，在 中， ，點 均在邊 上，且 .猜想 應滿足的等量關系，并寫出證明過程．

Answer 1

【答案】
（1）SAS；△AFE
（2）解：∠B+∠D=180°時，EF=BE+DF；
∵AB=AD，
∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，
∴∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠FDG=180°，點F、D、G共線，在△AFE和△AFG中，
∵AE=AG，∠FAE=∠FAG，AF=AF，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，即：EF=BE+DF．

（3）解：猜想：DE2=BD2+EC2 ， 理由如下：
根據ΔABD繞點A逆時針旋轉90°得到ΔACD′，如圖，連接ED′．

∴ΔABDΔACD′．
∴CD′=BD，AD′=AD，∠B=∠ACD′，∠BAD=∠D′ AC．
在RtΔABC中，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°．
∴∠ACB+∠ACD′=90°，即∠D′ CE=90°，
∴D’C2+CE2=D′E2 ．
又∵∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°．
∴∠D′AC+∠EAC=45°，即∠D′ AE=45°．∴ΔAD′ EΔADE，∴ED=ED′，
∴DE2=BD2+EC2 ．
【解析】（1）解：∵AB=AD，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，∴∠BAE=∠DAG，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠EAF=∠FAG，∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，點F、D、G共線，在△AFE和△AFG中，∵AE=AG，∠EAF=∠FAG，AF=AF，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF=FG，即：EF=BE+DF
（1）把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，再證明△AFG≌△AFE進而得到EF=FG，即可得EF=BE+DF。
（2）∠B+∠D=180°時，EF=BE+DF，與（1）的證法類同。
（3）根據△AEC繞點A順時針旋轉90°得到△ABE′，根據旋轉的性質，可知△AEC≌△ABE′得到BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，根據Rt△ABC中的，AB=AC得到∠E′BD=90°，所以E′B2+BD2=E′D2 ， 證△AE′D≌△AED，利用DE=DE′得到DE2=BD2+EC2。