Question

【題目】如圖，在⊙O中，AB為直徑，F是半圓弧AB的中點，E是弧BF上一點，直線AE與過點B的切線相交于點C，連接EF．

（1）若EF＝AB，求∠ACB的度數；

（2）若⊙O的半徑為3，BC＝2，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）75°；（2）

【解析】

（1）連接OE、OF、AF，根據等邊三角形的性質得到∠EOF＝60°，由圓周角定理得到∠EAF＝∠EOF＝30°，根據切線的性質得到∠ABC＝90°，根據直角三角形的性質計算即可；

（2）連BE、AF、BF，過F作FM⊥EF交AE于M，根據勾股定理求出AC，根據三角形的面積公式求出BE，證明△AFM≌△BFE，根據全等三角形的性質得到AM＝BE，EF＝FM，根據等腰直角三角形的性質計算，得到答案．

解：（1）連接OE、OF、AF，

∵EF＝AB＝OE＝OF，

∴△EOF為等邊三角形，

∴∠EOF＝60°，

由圓周角定理得，∠EAF＝∠EOF＝30°，

∵F是半圓弧AB的中點，

∴∠AOF＝90°，

∴∠OAF＝45°，

∴∠CAB＝15°，

∵BC為⊙O的切線，

∴∠ABC＝90°，

∴∠ACB＝75°；

（2）連BE、AF、BF，過F作FM⊥EF交AE于M，

則∠AEB＝∠CEB＝90°．

∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝2，

∴AC＝＝＝2，

由面積法得，BE＝＝，

∴AE＝＝，

∵AB為直徑，

∴∠AFB＝90°，又FM⊥EF，

∴∠AFM＝∠BFE，

在△AFM和△BFE中，

，

∴△AFM≌△BFE（ASA），

∴AM＝BE＝，EF＝FM．

∵EM＝AE﹣AM＝，

∴EF＝EM＝．