Question

【題目】如圖，在△ABC中，點B，C是x軸上的兩個定點，∠ACB=90°，AC=BC，點A（l，3），點P是x軸上的一個動點，點E是AB的中點，在△PEF中，∠PEF=90°，PE=EF

（1）如圖1，當點P與坐標原點重合時：①求證△PCE≌△FBE；②求點F的坐標；
（2）如圖2，當點P在線段CB上時，求證S△CPE=S△AEF
（3）如圖3，當點P在線段CB的延長線時，若S△AEF=4S△PBE則此刻點F的坐標為

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1中，

①∵A（1，3），B（4，0），

∴AC=BC=3，△ACB是等腰直角三角形，

∵AE=EB，

∴CE=AE=EB，CE⊥AB，∠ECB=∠EBC=45°，

∴∠CEB=∠OEF=90°，∠ECO=135°，

∴∠OEC=∠FEB，∵OE=EF，EC=EB，

∴△EOC≌△EFB，即△PCE≌△FBE．．

②∵△PCE≌△FBE．

∴OC=BF=1，∠EBF=∠OCE=135°，

∴∠OBF=90°，

∴BF⊥OB，

∴F（4，﹣1）

（2）

證明：如圖2中，作PM⊥CE于M，FN⊥EB于N．

由（1）可知∠OEC=∠FEB，OE=EF，EC=EB，

∴△ECP≌△EBF，

∵PM⊥CE于M，FN⊥EB于N，

∴PM=FN（全等三角形對應邊上的高相等），

∵S△CPE= CEPM，S△AEF= AEFN，

∵CE=AE，PM=NF，

∴S△CPE=S△AEF

（3）（4，4）
【解析】（3）解：如圖3中，

由（2）可知△ECP≌△EBF，推出PC=BF，BF⊥CP，
∵S△CPE=S△AEF ， S△AEF=4S△PBE ，
∴S△CPE=4S△PBE ，
∴PC=4PB，
∴BC=3PB，PB=1，PC=4，
∴BF=PC=4，
∴點F坐標為（4，4）．
所以答案是（4，4）．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解全等三角形的性質的相關知識，掌握全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等．