Question

【題目】在矩形中，為邊上一點，.將沿翻折得到，的延長線交邊于點，過點作交于點.連接，分別交，于點，.現有以下結論：①連接，則垂直平分；②四邊形是菱形；③；④若，則.其中正確的結論是________（填寫所有正確結論的序號）.

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

①連接，根據翻折的性質，結合等腰三角形三線合一的性質即可得出結論；

②DP∥AB，所以∠DPA=∠PAM，由題意可知：∠DPA=∠APM，所以∠PAM=∠APM，由于∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM，即∠ABP=∠MPB，從而可知PM=MB=AM，又易證四邊形PMBN是平行四邊形，所以四邊形PMBN是菱形；

③過點P作PG⊥AB于點G，易知四邊形DPGA，四邊形PCBG是矩形，所以AD=PG，DP=AG，GB=PC，易證△APG∽△PBG，所以PG2=AGGB，即AD2=DPPC；

④由于，可設DP=1，AD=2，由（1）可知：AG=DP=1，PG=AD=2，從而求出GB=PC=4，AB=AG+GB=5，由于CP∥AB，從而可證△PCF∽△BAF，△PCE∽△MAE，從而可得，，從而可求出EF=AF-AE=AC-AC=AC，從而可得．

①根據翻折的性質可得，AD=A,∠DAP=∠AP，

連接，根據等腰三角形“三線合一”的性質得，垂直平分.

②∵DP∥AB，

∴∠DPA=∠PAM，

由題意可知：∠DPA=∠APM，

∴∠PAM=∠APM，

∵∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM，

即∠ABP=∠MPB

∴AM=PM，PM=MB，

∴PM=MB，

又易證四邊形PMBN是平行四邊形，

∴四邊形PMBN是菱形；

③過點P作PG⊥AB于點G，

∴易知四邊形DPGA，四邊形PCBG是矩形，

∴AD=PG，DP=AG，GB=PC

∵∠APB=90°，

∴∠APG+∠GPB=∠GPB+∠PBG=90°，

∴∠APG=∠PBG，

∴△APG∽△PBG，

∴，

∴PG2=AGGB，

即AD2=DPPC；

④由于，

可設DP=1，AD=2，

由（1）可知：AG=DP=1，PG=AD=2，

∵PG2=AGGB，

∴4=1GB，

∴GB=PC=4，

AB=AG+GB=5，

∵CP∥AB，

∴△PCF∽△BAF，

∴，

∴，

又易證：△PCE∽△MAE，AM=AB=，

∴

∴，

∴EF=AF-AE=AC-AC=AC，

∴.

故答案為：①②③.