Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=6，∠BAD的平分線與BC的延長線交于點E、與DC交于點F，且點F為邊DC的中點，∠ADC的平分線交AB于點M，交AE于點N，連接DE

(1) 求證：BC=CE

(2) 若DM=2，求DE的長

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）DE=.

【解析】

（1）利用平行四邊形ABCD的性質得出AD=BC，AD∥BC，進一步證得△ADF≌△ECF，得出AD=CE，證得結論；

（2）連接FM，證得四邊形AMFD是菱形，得出AN=NF，求得M是AB的中點，利用勾股定理求得AN，進一步得出NE，進一步利用勾股定理求得DE的長即可．

（1）證明：∵平行四邊形ABCD

∴AD=BC,AD//BC

∴∠DAF=∠CEF,∠ADF=∠ECF

∵點F為CD中點

∴DF=CF

∴△ADF≌△ECF(AAS)

∴AD=CE

∴BC=CE.

（2）如圖，連接FM，

∵DM平分∠ADF，AF平分∠DAB，AB∥DC，AD∥BC，

∴∠DAF=∠BAF=DFN，∠ADM=∠FDM=∠AMD，

∴AD=DF=AM，

∴四邊形AMFD是菱形，

∴AF⊥DM，DN=MN=DM=1，

又∵DF=FC，DC=AB=6，

∴AM=3，

∴AN=，

∴AF=2AN=4，

∵AF=EF，

∴NE=AE-AN=6，

∴DE=．