Question

【題目】如圖，直線y＝2x＋2與x軸交于點A，與y軸交于點B，把△AOB沿y軸翻折，點A落到點C，過點B的拋物線y＝－x2＋bx＋c與直線BC交于點D(3，－4)

（1）求直線BD和拋物線對應的函數解析式；

（2）在拋物線對稱軸上求一點P的坐標，使△ABP的周長最小；

（3）在第一象限內的拋物線上，是否存在一點M，作MN垂直于x軸，垂足為點N，使得以M，O，N為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝－2x＋2，y＝－x2＋x＋2；（2）()；（3）存在，M(1，2)或.

【解析】試題分析：（1）利用直線與坐標軸的交點坐標，求出拋物線的解析式，利用翻折得出點C的坐標，就可求出直線BD的解析式；（2）本題利用路徑最短的知識來解決問題；（3）由（1）的解析式設M（a，-a2+a+2），當△BOC∽△MON或△BOC∽△ONM時，由相似三角形的性質就可以求出結論.

試題解析：(1)易得A(－1，0)，B(0，2)，C(1，0)．

設直線BD對應的函數解析式為y＝kx＋m.

把B(0，2)，C(1，0)的坐標分別代入y＝kx＋m，

得解得

∴直線BD對應的函數解析式為y＝－2x＋2.

∵拋物線對應的函數解析式為y＝－x2＋bx＋c.

∴把B(0，2)，D(3，－4)的坐標分別代入y＝－x2＋bx＋c，

得解得

∴拋物線對應的函數解析式為y＝－x2＋x＋2.

(2)對稱軸為:點A(-1，0)關于對稱軸的對稱點為E（2.0）,連接BE交對稱軸與點P,則BE的解析式為：y＝－x＋2 ,當x=時，BE與對稱軸的交點坐標是P：().

(3)存在，①如圖①，當△MON∽△BCO時，＝，即＝，∴MN＝2ON.設ON＝a，則M(a，2a)，∴－a2＋a＋2＝2a，解得a1＝－2(不合題意，舍去)，a2＝1，∴M(1，2)；②如圖②，當△MON∽△CBO時，＝，即＝，∴MN＝ON.設ON＝n，則M，∴－n2＋n＋2＝，解得n1＝ (不合題意，舍去)，n2＝，∴M(，)．∴存在這樣的點M(1，2)或.