Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝x﹣4與拋物線y＝+bx+c交于坐標軸上兩點A、C，拋物線與x軸另一交點為點B；

（1）求拋物線解析式；

（2）若動點D在直線AC下方的拋物線上；

①作直線BD，交線段AC于點E，交y軸于點F，連接AD；求△ADE與△CEF面積差的最大值，及此時點D的坐標；

②如圖2，作DM⊥直線AC，垂足為點M，是否存在點D，使△CDM中某個角恰好是∠ACO的一半？若存在，直接寫出點D的橫坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝；

（2）①當m＝時，S△ADE﹣S△CEF的最大值為，此時點D坐標為（，）；

②存在，點D的橫坐標為點D橫坐標為或．

【解析】

（1）先求出C（0，﹣4）A（3，0），然后代入y＝+bx+c，從而求出拋物線解析式；

（2）①設D（m，），則tan∠ABD＝，然后用m的代數式表示△ADE與△CEF面積差，利用二次函數最值求出最大值；

②作∠ACO的平分線CP交x軸于點P，過P作PH⊥AC于點H．求出tan∠PCH＝，然后分兩種情況討論：Ⅰ．當∠MCD＝∠ACO＝∠PCH時，Ⅱ．當∠MDC＝∠ACO＝∠PCH時．

（1）對于y＝x﹣4，令x＝0，則y＝﹣4所以C（0，﹣4）；

令y＝0，則x＝3，

∴A（3，0）；

把點A、C坐標代入拋物線解析式，

得：解得，

∴拋物線解析式為y＝；

（2）設D（m，），0＜m＜3

①連接OD，因為B（﹣1，0），D（m，）

tan∠ABD＝，

∴OF＝﹣（m﹣3），

又OA＝3，OC＝4，

∴S△ADE﹣S△CEF＝S四邊形AOFD﹣S△AOC＝AO|yD|+OF|xD|﹣OAOC

＝[3（﹣m2+m+4）﹣（m﹣3）m﹣3×4]

＝﹣m2+6m

＝﹣（m﹣）2+，

所以當m＝時，S△ADE﹣S△CEF的最大值為，此時點D坐標為；

②存在，點D的橫坐標為點D橫坐標為或．

作∠ACO的平分線CP交x軸于點P，過P作PH⊥AC于點H．

則CH＝CO＝4，OP＝PH，

設OP＝PH＝x，則PA＝3﹣x，

∵OC＝4，OA＝3，

∴AC＝5，AH＝1，

在Rt△PHA中，

PH2+AH2＝AP2，

即/span>x2+12＝（3﹣x）2，

解得x＝，

∴tan∠PCH＝，

過點D作DG⊥x軸于點G，過點M作ME∥x軸，與y軸交于點E，與DG交于點F．

設M（m，），則ME＝m，FG＝OE＝，CE＝，

∵DM⊥直線AC，

∴△CEM∽△MFD，

∴，

Ⅰ．當∠MCD＝∠ACO＝∠PCH時，

tan∠MCD＝tan∠PCH＝，

∴，即，

∴，

∴MF＝CE＝，DF＝ME＝，

∴EF＝EM+MF＝m+＝，DG＝DF+FG＝m+（）＝﹣m+4，

∴D（，m﹣4），

將點D坐標代入y＝，

m﹣4＝，

解得m＝0（舍去）或m＝

Ⅱ．當∠MDC＝∠ACO＝∠PCH時，

tan∠MDC＝tan∠PCH＝，

即，

∴，

MF＝4m，DF＝3m，

∴EF＝EM+MF＝m+4m＝5m，

DG＝DF+FG＝3m﹣，

∴D（5m， ），

將點D坐標代入y＝，

，

解得x＝0（舍去）或x＝；

綜上，點D橫坐標為或．