Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點， A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0），與y軸交于C（0，-3）點.

(1)求這個二次函數以及直線BC的解析式；

(2)直接寫出點A的坐標；

(3)當x為何值時，一次函數的值大于二次函數的值.

Answer 1

【答案】(1) , ;(2) （-1,0）;(3) 0＜x＜3時

【解析】試題分析：

(1) 由于點B與點C既在一次函數的圖象上又在二次函數的圖象上. 考慮運用待定系數法確定這兩個函數的解析式. 先將該一次函數的解析式設為一次函數的一般形式，再將點B與點C的坐標代入所設的解析式中得到關于待定系數的方程組，解這個方程組可以確定各待定系數的值，進而確定一次函數的解析式. 由于二次函數解析式的形式已經給出，所以將點B與點C的坐標代入該解析式并求得系數b和c的值，進而得到二次函數的解析式.

(2) 由于該二次函數的圖象與x軸交于A與B兩點，所以將y=0代入二次函數的解析式并求得相應的x的值. 根據點B的坐標，判斷對應于點A坐標的x值，進而求得點A的坐標.

(3) 若一次函數的值大于二次函數的值，則該一次函數的相應圖象應該在該二次函數相應圖象的上方. 根據上述結論，觀察本題給出的函數圖象可知，一次函數圖象在點C與點B之間的部分位于二次函數圖象相應部分的上方. 根據點C與點B的橫坐標即可得到符合題意的x的取值范圍.

試題解析：

(1) 設直線BC的解析式為y=kx+b1.

由題意知，點B(3, 0)和點C(0, -3)在直線BC上，故將點B和點C的坐標分別代入直線BC的解析式，得

，

解之，得

.

∴直線BC的解析式為y=x-3.

由題意知，點B(3, 0)和點C(0, -3)在二次函數的圖象上，故將點B和點C的坐標分別代入二次函數的解析式，得

，

解之，得

.

∴該二次函數的解析式為y=x2-2x-3.

綜上所述，該二次函數的解析式為y=x2-2x-3，直線BC的解析式為y=x-3.

(2) 點A的坐標為(-1, 0). 具體求解過程如下.

根據題意，將y=0代入該二次函數的解析式，得

x2-2x-3=0，

解這個關于x的一元二次方程，得

x1=3，x2=-1.

∵點B的坐標為(3, 0)，

∴點A的坐標為(-1, 0).

(3) 由函數的圖象可知，在位于點C與點B之間的部分圖象中，一次函數的圖象在二次函數圖象的上方.

∵點B的坐標為(3, 0)和點C的坐標為(0, -3)，

∴當0<x<3時，一次函數的值大于二次函數的值.