Question

【題目】猜想與證明： 如圖，擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF，使B、C、G三點在一條直線上，CE在邊CD上，連接AF，若M為AF的中點，連接DM，EM．

（1）試猜想寫出DM與EM的數量關系，并證明你的結論． 拓展與延伸：
（2）若將“猜想與證明”中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，其他條件不變，則（1）中的結論是否仍然成立？請直接寫出你的判斷．

Answer 1

【答案】
（1）解：結論：DM=EM．

理由：如圖1，延長EM交AD于點H，

∵四邊形ABCD和ECGF是矩形，

∴AD//EF，

∴∠EFM=∠HAM，

又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，

在△FME和△AMH中，

，

∴△FME≌△AMH，

∴HM=EM，

在直角△HDE中，HM=EM，

∴DM=HM=EM，

∴DM=EM．

（2）解：成立．（證明方法類似）
【解析】（1）結論：DM=EM．只要證明△FME≌△AMH，推出HM=EM，在直角△HDE中利用斜邊中線的性質即可證明．（2）結論不變．證明方法類似．
【考點精析】利用矩形的性質和正方形的判定方法對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等；先判定一個四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等；先判定一個四邊形是菱形，再判定出有一個角是直角．