Question

在數學“綜合與實踐”課中，陳老師要求同學們制作一張直角梯形紙片ABCD，要求梯形的上底AD=3cm，下底BC=5cm．探索：當直角梯形ABCD的高AB是多少厘米時，將該梯形沿某一直線剪成兩部分后，能拼成一個既不重疊又無空隙的特殊幾何圖形．
（1）如圖1，小穎過腰CD的中點E作EF⊥BC于F，沿EF將梯形剪切后，拼成正方形．求小穎所制作的直角梯形的高AB是多少厘米？
（2）如圖2，小亮過點B作BM⊥CD于M，沿BM將梯形剪切后，拼成直角三角形．請在答題卡的相應位置補全拼后的一種直角三角形草圖，并求小亮所制作的直角梯形的高AB是多少厘米？
（3）探索當直角梯形的高AB是多少厘米時，將該梯形沿某一直線剪成兩部分后，能拼成一個不是正方形的菱形．請在答題卡的相應位置畫出兩種不同剪切、拼圖方法的草圖，并直接寫出原直角梯形的高AB．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拼圖可知△DGE≌△CFE，若四邊形ABFG是正方形，設DG為x，AG=BF=AB，即3+x=5-x，求出x的值，由AB=AG即可得出結論；
（2）按如圖2方式拼接，由拼圖可知△GAD≌△BMC，由勾股定理可求出GA的長，由相似三角形的判定定理得出△GAD∽△GMB，故可得出，即，求出GB的長，進而可得出AB的長；
（3）按如圖4方式拼接成一個菱形，過點D作DM⊥BC于點M，則AB=DM，由菱形的性質得出CD的長，在Rt△DMC中利用勾股定理可求出DM的長，故可得出結論；按如圖5方式拼接成一個菱形，由AD=3cm，BC=5cm可設BM=x，則CM=5-x，ND=MN=3+x，四邊形NMCD是菱形可求出x的值，在Rt△OBM中利用勾股定理可求出OB的長，進而可得出AB的長．
解答：解：（1）∵由拼圖可知△DGE≌△CFE，由拼圖得，若四邊形ABFG是正方形，設DG為x，
∴AG=BF=AB，即3+x=5-x，
解得：x=1，
∴AB=AG=3+1=4；                   

（2）拼法1：按如圖2方式拼接，由拼圖可知△GAD≌△BMC，
解法一：∵GD=BC=5，由勾股定理可得：
∴BM=AG=4，
∵∠GAD=∠GMB=90°，∠G=∠G，
∴△GAD∽△GMB，
∴，即，
解得：，
∴，
解法二：∵CM=AD=3，由勾股定理可得：，
作DE⊥BC于E，得EC=2，
∵∠BMC=∠DEC=90°，
∴tanC=，
∴，
∴AB=DE=．
拼法2：按如圖3方式拼接，
由拼圖可知，△HMD≌△BMC，
∴∠HMD+∠BMD=180°，∠HDM+∠ADC=180°，
∴點H是AD與BM延長線的交點，
則HD=BC=5，HM=BM，
∵∠HMD=∠A=90°，
由cosH==，即，解得：，
∴BH=2HM=4，
由勾股定理可得：；

（3）按如圖4方式拼接成一個菱形，過點D作DM⊥BC于點M，則AB=DM，
則AD=3，BC=5，四邊形GHCF是菱形，
則CH=CF=8，
則MC=CB-AD=5-3=2，DC=2CF=16，
在Rt△DMC中，DM===6，即梯形高AB=6cm；             
按如圖5方式拼接成一個菱形，
∵AD=3，BC=5，
∴設BM=x，則CM=5-x，ND=MN=3+x，
∵四邊形NMCD是菱形，
∴CM=ND=MN，即5-x=3+x，解得x=1，
∴CM=MN=4，
∴OM=MN=2，
在Rt△OBM中，OB===，
∴AB=2OB=2（cm），即梯形高為2cm．
點評：本題考查的是相似三角形綜合題，涉及到菱形的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理、直角梯形的性質等相關知識，涉及面較廣，難度較大．