Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸、y軸分別相交于點A，B，點C在射線OA上，點D在射線OB上，且OD＝2OC，以CD的中點為對稱中心作△COD的對稱圖形△DEC．設點C的坐標為（0，n），△DEC在直線AB下方部分的面積為S．

（1）當點E在AB上時，n＝　 　，當點D與點B重合時，n＝　 　；

（2）求S關于n的函數解析式，并直接寫出自變量n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；2；（2）

【解析】

（1）根據題意證得四邊形DOCE是矩形，即可得到E（-2n，n），D（-2n，0），由直線上點的坐標特征求得n的值即可；
（2）分兩種情況討論：①當直線AB經過線段DE時，求得直線與DE和EC的交點坐標，進而求得△MEN的面積，則根據S=S△EDC-S△EMN即可求得S關于n的函數解析式；②當直線AB經過線段DC時，求得直線與DC的交點，然后根據三角形面積公式即可求得．

解：（1）設點C的坐標為（0，n），則D（﹣2n，0），

∵△COD與△DEC關于P點成中心對稱，

∴PD＝PC，PE＝PO，

∴四邊形DOCE是平行四邊形，

∵∠DOC＝90°，

∴四邊形DOCE是矩形，

∴E（﹣2n，n），

點E在AB上時，則n＝（﹣2n）+3，

解得n＝；

當點D與點B重合時，則0＝（﹣2n）+3，

解得n＝2，

故答案為，2；

（2）如圖2，當直線AB經過線段DE時，

把x＝﹣2n代入y＝x+3得y＝﹣n+3，把y＝n代入y＝x+3求得x＝n﹣4，

∴M（﹣2n，﹣n+3），N（n﹣4，n），

∴S△EMN＝（n+n﹣3）（n﹣4+2n）

∴S＝S△EDC﹣S△EMN＝2nn﹣（n+n﹣3）（n﹣4+2n）＝﹣n2+10n﹣6（≤n≤2），

當直線AB經過線段DC時，

∵OD＝2OC，

∴直線DC的解析式為y＝x+n，

解得，

∴S＝（n﹣4）（6﹣2n）＝﹣n2+8n﹣12（2＜n≤3）．

綜上，S＝．