Question

【題目】如圖，（1）某學校“智慧方園”數學社團遇到這樣一個題目：如圖1，在△ABC中，點O在線段BC上，∠BAO＝20°，∠OAC＝80°，AO＝，BO：CO＝1：3，求AB的長．經過社團成員討論發現，過點B作BD∥AC，交AO的延長線于點D，通過構造△ABD就可以解決問題（如圖2），請回答：∠ADB＝　 　°，AB＝　 　．

（2）請參考以上思路解決問題：如圖3，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AC⊥AD，AO＝6，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3，求DC的長．

Answer 1

【答案】（1）80，8；（2）DC＝8

【解析】

（1）根據平行線的性質可得∠ADB＝∠OAC＝80°，即可證明△BOD∽△COA，可得，求出AD的長度，再根據角的和差關系得∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝80°＝∠ADB，即可得出AB＝AD＝8．

（2）過點B作BE∥AD交AC于點E，通過證明△AOD∽△EOB，可得，根據線段的比例關系，可得AB＝2BE，根據勾股定理求出BE的長度，再根據勾股定理求出DC的長度即可．

解：（1）∵BD∥AC，

∴∠ADB＝∠OAC＝80°，

∵∠BOD＝∠COA，

∴△BOD∽△COA，

∴

∵AO＝6，

∴OD＝AO＝2，

∴AD＝AO+OD＝6+2＝8，

∵∠BAD＝20°，∠ADB＝80°，

∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝80°＝∠ADB，

∴AB＝AD＝8，

故答案為：80，8；

（2）過點B作BE∥AD交AC于點E，如圖3所示：

∵AC⊥AD，BE∥AD，

∴∠DAC＝∠BEA＝90°，

∵∠AOD＝∠EOB，

∴△AOD∽△EOB，

∴

∵BO：OD＝1：3，

∴

∵AO＝6，

∴EO＝AO＝2，

∴AE＝AO+EO＝6+2＝8，

∵∠ABC＝∠ACB＝75°，

∴∠BAC＝30°，AB＝AC，

∴AB＝2BE，

在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2，即（8）2+BE2＝（2BE）2，

解得：BE＝8，

∴AB＝AC＝16，AD＝3BE＝24，

在Rt△CAD中，AC2+AD2＝DC2，即162+242＝DC2，

解得：DC＝8．