Question

【題目】如圖，ABCD的頂點A、C、D都在⊙O上，AB與⊙O相切于點A，BC與⊙O交于點E，設∠OCD=α，∠BAD=β．

（1）求證：AB=AE；

（2）試探究α與β之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）證明參見解析；（2）β=135°﹣α．

【解析】

試題分析：（1）連接DE,先證明∠CED=∠ADE，推出弧AE=弧CD，進一步推出AE=CD，因為AB=CD,由此即可證明；（2）延長AO交CD于F，由β=90°+∠OAD，∠OAD=∠FOD，∠FOD=∠FOC=90°﹣α，由此即可解決問題.

試題解析：（1）連接DE．先證明∠CED=∠ADE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，AB=CD，∴∠CED=∠ADE，∴弧AE=弧CD，∴AE=CD，∵AB=CD,∴AB=AE；（2）延長AO交CD于F，∵AB是⊙O切線，∴AB⊥AF，∵AB∥CD，∴AF⊥CD，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠COF=∠DOF=90°﹣α，∵∠OAD=∠ODA，∴（90°﹣α），∴β=∠BAF+∠OAD=90°+∠OAD=90°+（90°﹣α）=135°﹣α．故α與β之間的數量關系為β=135°﹣α．