Question

（2011•臺州模擬）在□ABCD中，已知AB=5，BC=2

2

，∠A=45°，以AB所在直線為x軸，A為坐標原點建立直角坐標系，將□ABCD繞A點按逆時針方向旋轉90°得到□OEFG（圖1）
（1）直接寫出C﹑F兩點的坐標．
（2）沿x軸的負半軸以1米/秒的速度平行移動，設移動后x秒（圖2），□ABCD與□OEFG重疊部分的面積為y，當點D移動到□OEFG的內部時，求y與x之間的關系式．
（3）若□ABCD與□OEFG同時從O點出發，分別沿x軸、y軸的負半軸以1米/秒的速度平行移動，設移動后x秒（如圖3），□ABCD與□OEFG重疊部分的面積為y，當點D移動到□O'EFG的內部時，求y與x之間的關系式，并求出重疊部分面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據勾股定理和坐標知識可求出C，F的坐標．
（2）因為∠DAB=∠GOA=45°，以及重疊部分的面積可用四邊形AOHD和三角形AOF的面積來表示出來，從而可求出解析式．
（3）先求出表示面積的解析式，然后根據函數的最值求解．

解答：解：（1）C（7，2），F （-2，7）（4分）（2）設AD、DC分別與OG、OE交于點F、H
∵∠DAB=∠GOA=45°S_?OHDF=S_?AOHD-S_△AOF
∴OF=AF=

2

2

OA=

2

2

x，OH=2，DH=x-2
即y=

1

2

(DH+AO)•OH-

1

2

AF•?OFy=

1

2

(x+x-2)•×2-

1

2

×(

2 x

2

)2=-

1

4

x2+2x-2（2＜x＜4）（8分）
（3）①當2＜x≤3時，DE=x-2，OA=x，
∴y=

1

2

(x+x-2)×2-

1

2

(x-2)2
y=-

1

2

x2+4x-4=-

1

2

(x-4)2+4
當x=3時，y_max=4-

1

2

=

7

2

∴移動后3秒時，重疊部分面積的最大值是

7

2

（11分）
②當3＜x＜4時，延長CD與FG交于點Q，
QM=DQ=QN-MN，即QM=DQ=2-（x-2）=4-x
PJ=EJ=x+2-5=x-3，
∴y=2×2-

1

2

(4-x)2-

1

2

(x-3)2y=-x²+7x-

17

2

=-(x-

7

2

)2+

15

4

當x=

7

2

時，ymax=

15

4

∴移動后

7

2

秒時，重疊部分面積的最大值是

15

4

（13分）
綜上①②所述，同時從O點移動

7

2

秒時，重疊部分面積的最大值是

15

4

（14分）

點評：本題考查了旋轉的性質，平移的性質，二次函數的性質和最值的求法以及平行四邊形的性質等知識點．