Question

【題目】解答題唐代大詩人李白喜好飲酒作詩，民間有“李白斗酒詩百篇”之說．《算法統宗》中記載了一個“李白沽酒”的故事．詩云：

注：古代一斗是10升．
大意是：李白在郊外春游時，做出這樣一條約定：遇 見朋友，先到酒店里將壺里的酒增加一倍，再喝掉其中的19升酒．按照這樣的約定，在第3個店里遇到朋友正好喝光了壺中的酒．
（1）列方程求壺中原有多少升酒；
（2）設壺中原有a0升酒，在第n個店飲酒后壺中余an升酒，如第一次飲后所余酒為a1=2a0﹣19（升），第二次飲后所余酒為a2=2a1﹣19=2（2a0﹣19）﹣19=22a0﹣（21+1）×19（升），…．
①用an﹣1的表達式表示an ， 再用a0和n的表達式表示an；
②按照這個約定，如果在第4個店喝光了壺中酒，請借助①中的結論求壺中原有多少升酒．

Answer 1

【答案】解：（1）設壺中原有x升酒．
依題意得：2[2（2x﹣19）﹣19]﹣19=0，
去中括號，得4（2x﹣19）﹣3×19=0．
去括號，得：8x﹣7×19=0．
系數化1，得x=16，
答：壺中原有16升酒；
（2）①an=2an﹣1﹣19，
an=2na0﹣（2n﹣1+2n﹣2+…+1）×19，
（或an=2na0﹣（2n﹣1）×19）；
②當n=4時，a4=24a0﹣（23+22+21+1）×19．
（或寫成a4=24a0﹣（24﹣1）×19）
∵在第4個店喝光了壺中酒，
∴24a0﹣（23+22+21+1）×19=0，
（或寫成24a0﹣（24﹣1）×19=0）
即16a0﹣15×19=0．
解得：a0=17，
答：在第4個店喝光了壺中酒時，壺中原有17升酒．
【解析】（1）分別表示出酒壺中剩余的酒量，利用在第3個店里遇到朋友正好喝光了壺中的酒進而得出等式求出答案；
（2）①利用已知第一次飲后所余酒為a1=2a0﹣19（升），第二次飲后所余酒為a2=2a1﹣19=2（2a0﹣19）﹣19=22a0﹣（21+1）×19（升），…，進而用a0和n的表達式表示an；
②利用①中所求，進而代入求出答案．