Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于圓O，∠BAD=90°，AC為直徑，過點A作圓O的切線交CB的延長線于點E，過AC的三等分點F（靠近點C）作CE的平行線交AB于點G，連結CG．

（1）求證：AB=CD；

（2）求證：CD2=BEBC；

（3）當CG=，BE=時，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】試題分析：（1）根據三個角是直角的四邊形是矩形證明四邊形ABCD是矩形，可得結論；

（2）證明△ABE∽△CBA，列比例式可得結論；

（3）根據F是AC的三等分點得：AG=2BG，設BG=x，則AG=2x，代入（2）的結論解出x的值，可得CD的長．

試題解析：證明：（1）∵AC為⊙O的直徑，∴∠ABC=∠ADC=90°，∵∠BAD=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD；

（2）∵AE為⊙O的切線，∴AE⊥AC，∴∠EAB+∠BAC=90°，∵∠BAC+∠ACB=90°，∴∠EAB=∠ACB，∵∠ABC=90°，∴△ABE∽△CBA，∴，∴AB2=BEBC，由（1）知：AB=CD，∴CD2=BEBC；

（3）∵F是AC的三等分點，∴AF=2FC，∵FG∥BE，∴△AFG∽△ACB，∴ =2，設BG=x，則AG=2x，∴AB=3x，在Rt△BCG中，CG=，∴BC2=（）2﹣x2，BC=，由（2）得：AB2=BEBC，（3x）2=，4x4+x2﹣3=0，（x2+1）（4x2﹣3）=0，x=±，∵x＞0，∴x=，∴CD=AB=3x=．