Question

【題目】如果一個直角三角形的三邊長分別為，則稱這個三角形均勻直角三角形．

（1）判定按照上述定義，下列長度的三條線段能組成均勻直角三角形的是（）

A．1，2，3 B．1,1,2 C．2,3,4 D．3，4，5，

（2）性質求證：任何均勻直角三角形的較小直角邊與較大直角邊的比是

（3）應用如圖，在一塊均勻直角三角形紙板中剪一個矩形，且矩形的一邊在上，其余兩個頂點分別在上，已知，求剪出矩形面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）D；（2）見解析；（3）

【解析】

(1)根據均勻直角三角形的定義分別驗證四個選項即可得到答案；

(2)根據題意得到，再展開計算化簡即可得到任何均勻直角三角形的較小直角邊與較大直角邊的比是；

(3) 過點作，交于點，根據均勻三角形的定義求出CH的長度，設為，矩形面積為，證，根據相似三角形的性質以及二次函數的性質求出y的最大值即可得到答案；

解：（1）A．1，2，3因為 ，故三角形不是直角三角形，進而不是均勻直角三角形；

B．1,1,2因為 ，故三角形不是直角三角形，進而不是均勻直角三角形；

C．2,3,4因為 ，故三角形不是直角三角形，進而不是均勻直角三角形；

D．3，4，5滿足，且滿足三邊的關系為：，故是均勻直角三角形；

故選：D；

（2）證明：由題意得

，

，

（3）過點作，交于點，

在均勻直角三角形紙板中，，

．

又

設為，矩形面積為，則：

在矩形中，

∴

即

矩形面積的最大值為．