Question

【題目】如圖， 是 的中線， 是線段 上一點（不與點 重合）． 交 于點 ， ，連結 ．

（1）如圖1，當點 與 重合時，求證：四邊形 是平行四邊形；
（2）如圖2，當點 不與 重合時，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由.
（3）如圖3，延長 交 于點 ，若 ，且 ．當 ， 時，求 的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵DE//AB，∴∠EDC=∠ABM，

∵CE//AM，
∴∠ECD=∠ADB，
又∵AM是△ABC的中線，且D與M重合，∴BD=DC，
∴△ABD△EDC，
∴AB=ED，又∵AB//ED,
∴四邊形ABDE為平行四邊形。

；∵CE//AM，
∴∠ECD=∠ADB，
又∵AM是△ABC的中線，且D與M重合，∴BD=DC，
∴△ABD△EDC，
∴AB=ED，又∵AB//ED,
∴四邊形ABDE為平行四邊形。
（2）

解：結論成立，理由如下：
過點M作MG//DE交EC于點G，
∵CE//AM，
∴四邊形DMGE為平行四邊形，
∴ED=GM且ED//GM，
由（1）可得AB=GM且AB//GM，
∴AB=ED且AB//ED.
∴四邊形ABDE為平行四邊形.

（3）

解：取線段HC的中點I，連結MI，
∴MI是△BHC的中位線，
∴MI//BH,MI=BH，
又∵BH⊥AC，且BH=AM，
∴MI=AM，MI⊥AC，
∴∠CAM=30°
設DH=x,則AH=x，AD=2x,
∴AM=4+2x，∴BH=4+2x,
由（2）已證四邊形ABDE為平行四邊形，
∴FD//AB，
∴△HDF~△HBA，
∴ ， 即
解得x=1±（負根不合題意，舍去）
∴DH=1+.

；解：取線段HC的中點I，連結MI，
∴MI是△BHC的中位線，
∴MI//BH,MI=BH，
又∵BH⊥AC，且BH=AM，
∴MI=AM，MI⊥AC，
∴∠CAM=30°
設DH=x,則AH=x，AD=2x,
∴AM=4+2x，∴BH=4+2x,
由（2）已證四邊形ABDE為平行四邊形，
∴FD//AB，
∴△HDF~△HBA，
∴ ， 即
解得x=1±（負根不合題意，舍去）
∴DH=1+.；
【解析】（1）由DE//AB，可得同位角相等：∠EDC=∠ABM，由CE//AM，可得同位角相等∠ECD=∠ADB，又由BD=DC，則△ABD△EDC，得到AB=ED，根據有一組對邊平行且相等，可得四邊形ABDE為平行四邊形.
（2）過點M作MG//DE交EC于點G，則可得四邊形DMGE為平行四邊形，且ED=GM且ED//GM，由（1）可得AB=GM且AB//GM，即可證得；
（3）在已知條件中沒有已知角的度數時，則在求角度時往特殊角30°，60°，45°的方向考慮，則要求這樣的特殊角，就去找邊的關系，構造直角三角形，取線段HC的中點I，連結MI，則MI是△BHC的中位線，可得MI//BH,MI=BH，且MI⊥AC，則去找Rt△AMI中邊的關系，求出∠CAM；
設DH=x,即可用x分別表示出AH=x，AD=2x,AM=4+2x，BH=4+2x,由△HDF~△HBA，得到對應邊成比例，求出x的值即可；
【考點精析】掌握平行四邊形的判定與性質是解答本題的根本，需要知道若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．