Question

【題目】已知⊙O的半徑為5，EF是長為8的弦，OG⊥EF于點G，點A在GO的延長線上，且AO=13．弦EF從圖1的位置開始繞點O逆時針旋轉，在旋轉過程中始終保持OG⊥EF，如圖2．

[發現]在旋轉過程中，

（1）AG的最小值是　 　，最大值是　 　．

（2）當EF∥AO時，旋轉角α=　 　．

[探究]若EF繞點O逆時針旋轉120°，如圖3，求AG的長．

[拓展]如圖4，當AE切⊙O于點E，AG交EO于點C，GH⊥AE于H．

（1）求AE的長．

（2）此時EH=　 　，EC=　 　．

Answer 1

【答案】發現：（1）10，16；（2）90°或270°；探究：AG=；拓展：（1）AE=12；（2），．

【解析】

發現：（1）根據垂徑定理得：在Rt△EOG中，根據勾股定理求出OG=3，由旋轉知，點G的軌跡是以點O為圓心，OG=3為半徑的圓，即可求出AG的最大值與最小值.

（2）根據OG⊥EF，EF∥OA，得出OG⊥OA，即可求出旋轉角度.

探究：過點G作GQ⊥OA于Q，在Rt△OQG中，求出∠GOQ的度數，根據含角的直角三角形的性質求出即可求出AG的長

拓展：（1）根據切線的性質得到∠OEA=90°，根據勾股定理即可求出AE的長.

（2）過點G作GP⊥OE于P，易證四邊形EHGP是矩形，證明△OGE∽△OPG，根據相似三角形的性質得到即可求出的長度，即可求出EH的長度，再根據△AEC∽△AHG，求出EC的長度.

發現：（1）如圖1，

連接OE，

∵OG⊥EF，

∴

在Rt△EOG中，OE=5，根據勾股定理得，OG=3，

由旋轉知，點G的軌跡是以點O為圓心，OG=3為半徑的圓，

∴AG最大=OA+OG=13+3=16，

AG最小=OA﹣OG=13﹣3=10，

故答案為：10，16；

（2）∵OG⊥EF，EF∥OA，

∴OG⊥OA，

∴旋轉角α=90°或270°，

故答案為90°或270°；

探究：如圖3，

過點G作GQ⊥OA于Q，

在Rt△OQG中，∠GOQ=180°﹣120°=60°，OG=3，

∴

∴

在Rt△AQG中，

拓展：（1）∵AE切⊙O于E，

∴∠OEA=90°，

在Rt△AEO中，

（2）如圖4，

過點G作GP⊥OE于P，

∵HG⊥AE，OE⊥AE，

∴四邊形EHGP是矩形，

∴HG=EP，EH=PG，

∵∠OGE=∠OPG=90°，∠GOE=∠POG，

∴△OGE∽△OPG，

∴

∴

∴

∴

∵OE⊥AE，HG⊥AE，

∴CE∥HG，

∴△AEC∽△AHG，

∴

∴

∴

故答案為：