Question

如圖所示，已知△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O交BC于D，交AC于E，過D作DF⊥AC于F
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）連接DE，且AB=4，若∠FDC=30°，試求△CDE的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OD，由AB=AC，利用等邊對等角得到一對角相等，再由OB=OD，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到∠ODB=∠C，利用同位角相等兩直線平行，根據DF垂直于AC，得到DF垂直于OD，即可確定出DF為圓的切線；
（2）連接DE，AD，根據∠FDC與∠DFC的度數求出∠C的度數為60°，由AB=AC，得到三角形ABC為等邊三角形，進而確定出三角形EDC為等邊三角形，由AB為圓的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到AD垂直于BC，利用三線合一得到D為BC中點，求出CD的長，進而確定出EC與DF的長，求出三角形DEC的面積即可．

解答：（1）證明：連接OD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠C=∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
則DF為圓O的切線；

（2）解：連接DE，AD，
∵∠FDC=30°，∠DFC=90°，
∴∠C=60°，
∵AB=AC，
∴△ABC為等邊三角形，
∵∠CED為圓內接四邊形ABDE的外角，
∴∠CED=∠B=60°，
∴△DEC為等邊三角形，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∴D為BC的中點，即DC=

1

2

BC=

1

2

AB=2，
∴EC=DC=2，DF=

3

，
則S_△DEC=

1

2

×2×

3

=

3

．

點評：此題考查了切線的判定，圓周角定理，平行線的性質，垂徑定理，以及等腰三角形的判定與性質，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關鍵．