Question

如圖，這是某市一處十字路口立交橋的橫斷面在平面直角坐標系中的示意圖，橫斷面的地平線為x軸，橫斷面的對稱軸為y軸．橋拱的DGD′部分為一段拋物線，頂點G的高度為8米，AD和A′D′的兩側高為5.5米的支柱，OA和OA′為兩個方向的汽車通行區，寬都為15米，線段CD和C′D′為兩段對稱的上橋斜坡，其坡度為1：4．
（1）求橋拱DGD′所在拋物線的解析式及CC′的長；
（2）BE和B′E′為支撐斜坡的立柱，其高都為4米，相應的AB和A′B′為兩個方向的行人及非機動車通行區．試求AB和A′B′的寬；
（3）按規定，汽車通過該橋下時，載貨最高處和橋拱之間的距離不得小于0.4米．今有一大型運貨汽車，裝載某大型設備后，其寬為4米，車載大型設備的頂部與地面的距離均為7米．它能否從OA（或OA′）區域安全通過？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線的對稱軸是y軸，因而解析式一定是y=ax²+c的形式，根據條件可以求得拋物線上G，D的坐標分別是（0，8）和（15，5.5），利用待定系數法即可求解；
（2）根據坡度的定義，即垂直高度與水平寬度的比，即可求解；
（3）在拋物線解析式中，令x=4，得到的函數值與7+0.4=7.4米，進行比較即可判斷．

解答：解：（1）設DGD′所在的拋物線的解析式y=ax²+c．
由題意得G（0，8），D（15，5.5）．
∴

8=c 5.5=225a+c

解得

a=- 1 90 c=8

∴DGD′所在的拋物線的解析式為y=-

1

90

x²+8（4分）
∴

AD

AC

=

1

4

，且AD=5.5，
∴AC=5.5×4=22（米）
∴CC′=2OC=2×（OA+AC）=2×（15+22）=74（米）．
答：CC′的長為74米．（6分）

（2）∵

EB

BC

=

1

4

，BE=4
∴BC=16（8分）
∴AB=AC-BC=22-16=6（米）．
答：AB和A′B′的寬都是6米．（10分）

（3）答：該大型貨車可以從OA（或OA′）區域安全通過．（11分）
在y=-

1

90

x²+8中，當x=4時，
y=-

1

90

×16+8=7

37

45

（13分）
∵7

37

45

-（7+0.4）=

19

45

＞0
該大型貨車可以從OA（或OA′）區域安全通過．（14分）

點評：本題主要考查了待定系數法求二次函數解析式，以及坡度的定義，利用二次函數解決形狀是拋物線的物體的計算問題．