Question

【題目】已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，AB＝AC，點D為直線BC上一動點(點D不與B，C重合)，以AD為邊作正方形ADEF，連接CF．

(1)觀察猜想

如圖1，當點D在線段BC上時可以證明△ABD≌△ACF，則

①BC與CF的位置關系為： ；

②BC，DC，CF之間的數量關系為： ；

(2)類比探究

如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，其他條件不變，(1)中①，②結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結論再給予證明；

(3)拓展延伸

如圖3，當點D在線段BC的反向延長線上時，且點A，F分別在直線BC的兩側，其他條件不變．

①BC，DC，CF之間的數量關系為：

②若正方形ADEF的邊長為2，對角線AE，DF相交于點O，連接OC，則OC的長度為 ．

Answer 1

【答案】（1）①BC⊥CF；②BC＝DC＋CF；（2）①成立，②不成立，結論②應改為BC＝CF－DC，理由詳見解析；（3）①BC＝DC－CF；②

【解析】

（1）①根據SAS證明△ABD≌△ACF，可得∠ABC＝∠ACF＝45°，則∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝90°，所以BC⊥CF；
②由△ABD≌△ACF的性質和線段的和可得結論；
（2）①成立，證明∠BAC＋∠CAD＝∠DAF＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAF，同理證明△ABD≌△ACF，可得BC⊥CF，
②不成立，由BD＝BC＋CD，BD＝CF，可得新的結論：BC＝CFDC；
（3）①根據圖3知：DC最長，同理：△DAB≌△FAC，則BD＝CF，可得BC＝DCCF；
②先根據正方形的邊長求對角線DF的長，證明∠DCF＝90°，根據直角三角形斜邊中線的性質可得OC的長．

（1）①BC⊥CF，理由是：
如圖1，∵四邊形ADEF是正方形，
∴∠DAF＝90°，AD＝AF，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＋∠DAC＝∠DAC＋∠CAF，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∵，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ABC＝∠ACF＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝90°，
∴BC⊥CF；
②BC＝DC＋CF，
理由是：由①知：△ABD≌△ACF，
∴BD＝CF，
∴BC＝BD＋CD＝CF＋CD；
故答案為：①BC⊥CF，②BC＝CF＋CD；
（2）①成立，②不成立，結論②應改為BC＝CFDC；
證明：如圖2，在正方形ADEF中，
AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAF＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAF，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝180°∠BAC∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
在△ABD與△ACF中，，
∴△ABD≌△ACF，
∴∠ACF＝∠ABD＝45°，BD＝CF，
∵∠ACB＝45°，
∴∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝90°，
∴BC⊥CF；
∵BD＝BC＋CD，BD＝CF，
∴BC＝CFDC；
（3）①BC＝DCCF，
理由是：如圖3，同理得：∠DAB＝∠FAC，
易證得：△DAB≌△FAC，
∴BD＝CF，
∴DC＝BD＋BC＝CF＋BC，
∴BC＝DCCF；
②正方形ADEF中，邊長EF＝2
∴DF＝2
∵∠ABC＝45°
∴∠ABD＝135°
∵△DAB≌△FAC
∴∠ACF＝∠ABD＝135°
∵∠ACB＝45°
∴∠DCF＝90°
∵四邊形ADEF是正方形
∴OD＝OF
∴OC＝DF＝．
故答案為：①BC＝DCCF，②．