Question

【題目】如圖，于點,為等腰直角三角形，，當繞點旋轉時，記.

(1)過點作交射線于點，作射線交射線于點.

①依題意補全圖形，求的度數;

②當時，求的長.

(2)若上存在一點，且，作射線交射線于點，直接寫出長度的最大值.

Answer 1

【答案】（1）①見解析， 45°②7；（2）見解析，

【解析】

（1）①作于點H,交的延長線于點，證明AHO≌AGB, 即可求得∠ODC的度數；

②延長交于點，利用條件可求得AK、OK的長度，于是可求OD的長；

（2）分析可知，點B在以O為圓心，OB為半徑的圓上運動（個圓），所以當PB是圓O的切線時，PQ的值最大，據此可解.

解：（1）①補全圖形如圖所示，過點作于點H,交的延長線于點，

∵，，，

∴∠AGB=∠AHO=∠C =，

∴∠GAH=，

∴∠OAH+∠HAB=∠GAB+∠HAB=,

∴∠OAH =∠GAB, 四邊形為矩形，

∵為等腰直角三角形，

∴OA=AB,

∴AHO≌AGB,

∴AH=AG,

∴四邊形為正方形，

∴∠OCD=45°，

∴∠ODC=45°；

②延長交于點，

∵，OA=5，

∴AK=4,

∴OK=3,

∵∠ODC=45°，

∴DK=AK=4

∴ ；

（2）如圖，

∵繞點旋轉，

∴點B在以O為圓心，OB為半徑的圓上運動（個圓），

∴當PB是圓O的切線時，PQ的值最大，

∵

∴

∴∠OPB=45°,

∴ OQ=OP=10，

∴.

∴長度的最大值是.