Question

【題目】已知如圖1，在以O為原點的平面直角坐標系中，拋物線y= x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，﹣1），連接AC，AO=2CO，直線l過點G（0，t）且平行于x軸，t＜﹣1，

（1）求拋物線對應的二次函數的解析式；
（2）若D為拋物線y= x2+bx+c上一動點，是否存在直線l使得點D到直線l的距離與OD的長恒相等？若存在，求出此時t的值；
（3）如圖2，若E、F為上述拋物線上的兩個動點，且EF=8，線段EF的中點為M，求點M縱坐標的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵c（0，﹣1），

∴y= x2+bx﹣1，

又∵AO=2OC，

∴點A坐標為（﹣2，0），

代入得：1﹣2b﹣1=0，

解得：b=0，

∴解析式為：y= x2﹣1

（2）

解：假設存在直線l使得點D到直線l的距離與OD的長恒相等，

設D（a， a2﹣1），

則OD= = = a2+1，

點D到直線l的距離： a2﹣1+|t|，

∴ a2﹣1+|t|= a2+1，

解得：|t|=2，

∵t＜﹣1，

∴t=﹣2，

故當t=﹣2時，直線l使得點D到直線l的距離與OD的長恒相等

（3）

解：作EN⊥直線l于點N，FH⊥直線l于點H，

設E（x1，y1），F（x2，y2），

則EN=y1+2，FH=y2+2，

∵M為EF中點，

∴M縱坐標為： = = ﹣2，

由（2）得：EN=OE，FH=OF，

∴ = ﹣2= ﹣2，

要使M縱坐標最小，即 ﹣2最小，

當EF過點O時，OE+OF最小，最小值為8，

∴M縱坐標最小值為 ﹣2= ﹣2=2．

【解析】（1）根據點C坐標，可得c=﹣1，然后根據AO=2CO，可得出點A坐標，將點A坐標代入求出b值，即可得出函數解析式；（2）假設存在直線l使得點D到直線l的距離與OD的長恒相等，設出點D坐標，分別求出OD和點D到直線l的距離，然后列出等式求出t的值；（3）作EN⊥直線l于點G，FH⊥直線l于點H，設出點E、F坐標，表示出點M的縱坐標，根據（2）中得出的結果，代入結果求出M縱坐標的最小值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的圖象的相關知識，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數的性質的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．