Question

【題目】如圖，矩形的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點B的坐標為（10，8），沿直線OD折疊矩形，使點A正好落在BC上的E處，E點坐標為（6，8），拋物線y=ax2+bx+c經過O、A、E三點．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）求AD的長；

（3）點P是拋物線對稱軸上的一動點，當△PAD的周長最小時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）AD=5；（3）（5，）

【解析】

試題分析：（1）利用矩形的性質和B點的坐標可求出A點的坐標，再利用待定系數法可求得拋物線的解析式；（2）設AD=x，利用折疊的性質可知DE=AD，在Rt△BDE中，利用勾股定理可得到關于x的方程，可求得AD的長；（3）由于O、A兩點關于對稱軸對稱，所以連接OD，與對稱軸的交點即為滿足條件的點P，利用待定系數法可求得直線OD的解析式，再由拋物線解析式可求得對稱軸方程，從而可求得P點坐標．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，B（10，8），

∴A（10，0）， 又拋物線經過A、E、O三點，把點的坐標代入拋物線解析式可得，解得， ∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x；

（2）由題意可知：AD=DE，BE=10﹣6=4，AB=8， 設AD=x，則ED=x，BD=AB﹣AD=8﹣x，

在Rt△BDE中，由勾股定理可知ED2=EB2+BD2，即x2=42+（8﹣x）2，解得x=5， ∴AD=5；

（3）∵y=﹣x2+x， ∴其對稱軸為x=5， ∵A、O兩點關于對稱軸對稱， ∴PA=PO，

當P、O、D三點在一條直線上時，PA+PD=PO+PD=OD，此時△PAD的周長最小，

如圖，連接OD交對稱軸于點P，則該點即為滿足條件的點P，

由（2）可知D點的坐標為（10，5），

設直線OD解析式為y=kx，把D點坐標代入可得5=10k，解得k=， ∴直線OD解析式為y=x，

令x=5，可得y=， ∴P點坐標為（5，）．