Question

【題目】綜合與實踐

問題情境：在數學活動課上，老師出示了這樣一個問題：如圖1，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AB延長線上一點，且BE=AB，連接DE，交BC于點M，以DE為一邊在DE的左下方作正方形DEFG，連接AM．試判斷線段AM與DE的位置關系．

探究展示：勤奮小組發現，AM垂直平分DE，并展示了如下的證明方法：

證明：∵BE=AB，∴AE=2AB．

∵AD=2AB，∴AD=AE．

∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC．

∴．（依據1）

∵BE=AB，∴．∴EM=DM．

即AM是△ADE的DE邊上的中線，

又∵AD=AE，∴AM⊥DE．（依據2）

∴AM垂直平分DE．

反思交流：

（1）①上述證明過程中的“依據1”“依據2”分別是指什么？

②試判斷圖1中的點A是否在線段GF的垂直平分線上，請直接回答，不必證明；

（2）創新小組受到勤奮小組的啟發，繼續進行探究，如圖2，連接CE，以CE為一邊在CE的左下方作正方形CEFG，發現點G在線段BC的垂直平分線上，請你給出證明；

探索發現：

（3）如圖3，連接CE，以CE為一邊在CE的右上方作正方形CEFG，可以發現點C，點B都在線段AE的垂直平分線上，除此之外，請觀察矩形ABCD和正方形CEFG的頂點與邊，你還能發現哪個頂點在哪條邊的垂直平分線上，請寫出一個你發現的結論，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

（1）①直接得出結論；

②借助問題情景即可得出結論；

（2）先判斷出∠BCE+∠BEC=90°，進而判斷出∠BEC=∠BCG，得出△GHC≌△CBE，判斷出AD=BC，進而判斷出HC=BH，即可得出結論；

（3）先判斷出四邊形BENM為矩形，進而得出∠1+∠2=90°，再判斷出∠1=∠3，得出△ENF≌△EBC，即可得出結論．

（1）①依據1：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例（或平行線分線段成比例）．

依據2：等腰三角形頂角的平分線，底邊上的中線及底邊上的高互相重合（或等腰三角形的“三線合一”）．

②答：點A在線段GF的垂直平分線上．

理由：由問題情景知，AM⊥DE，

∵四邊形DEFG是正方形，

∴DE∥FG，

∴點A在線段GF的垂直平分線上．

（2）證明：過點G作GH⊥BC于點H，

∵四邊形ABCD是矩形，點E在AB的延長線上，

∴∠CBE=∠ABC=∠GHC=90°，

∴∠BCE+∠BEC=90°．

∵四邊形CEFG為正方形，

∴CG=CE，∠GCE=90°，

∴∠BCE+∠BCG=90°．

∴∠2BEC=∠BCG．

∴△GHC≌△CBE．

∴HC=BE，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC．

∵AD=2AB，BE=AB，

∴BC=2BE=2HC，

∴HC=BH．

∴GH垂直平分BC．

∴點G在BC的垂直平分線上．

（3）答：點F在BC邊的垂直平分線上（或點F在AD邊的垂直平分線上）．

過點F作FM⊥BC于點M，過點E作EN⊥FM于點N．

∴∠BMN=∠ENM=∠ENF=90°．

∵四邊形ABCD是矩形，點E在AB的延長線上，

∴∠CBE=∠ABC=90°，

∴四邊形BENM為矩形．

∴BM=EN，∠BEN=90°．

∴∠1+∠2=90°．

∵四邊形CEFG為正方形，

∴EF=EC，∠CEF=90°．

∴∠2+∠3=90°．

∴∠1=∠3．

∵∠CBE=∠ENF=90°，

∴△ENF≌△EBC．

∴NE=BE．∴BM=BE．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC．

∵AD=2AB，AB=BE．

∴BC=2BM．

∴BM=MC．

∴FM垂直平分BC．

∴點F在BC邊的垂直平分線上．