Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=45°，AB=AC，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，直角∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DM、DN分別與邊AB、AC交于E、F兩點(diǎn)，下列結(jié)論：①△DEF是等腰直角三角形；②AE=CF；③△BDE≌△ADF；④BE＋CF=EF，其中正確結(jié)論是（ ）

A. ①②④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠CAD＝∠B＝45°，根據(jù)同角的余角相等求出∠ADF＝∠BDE，然后利用“角邊角”證明△BDE和△ADF全等，判斷出③正確；根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DE＝DF、BE＝AF，從而得到△DEF是等腰直角三角形，判斷出①正確；再求出AE＝CF，判斷出②正確；根據(jù)BE+CF＝AF+AE，利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊可得BE+CF＞EF，判斷出④錯(cuò)誤．

∵∠B＝45°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形．

∵點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，∴AD＝CD＝BD，AD⊥BC，∠CAD＝45°，∴∠CAD＝∠B．

∵∠MDN是直角，∴∠ADF+∠ADE＝90°．

∵∠BDE+∠ADE＝∠ADB＝90°，∴∠ADF＝∠BDE．

在△BDE和△ADF中，∵，∴△BDE≌△ADF（ASA），故③正確；

∴DE＝DF，BE＝AF，∴△DEF是等腰直角三角形，故①正確；

∵AE＝AB﹣BE，CF＝AC﹣AF，∴AE＝CF，故②正確；

∵BE+CF＝AF+AE，∴BE+CF＞EF，故④錯(cuò)誤；

綜上所述：正確的結(jié)論有①②③．

故選C．