Question

【題目】在平面直角坐標系中，將一塊等腰直角三角板（△ABC）按如圖所示放置，若AO＝2，OC＝1，∠ACB＝90°．

（1）直接寫出點B的坐標是　 ；

（2）如果拋物線l：y＝ax2﹣ax﹣2經過點B，試求拋物線l的解析式；

（3）把△ABC繞著點C逆時針旋轉90°后，頂點A的對應點A1是否在拋物線l上？為什么？

（4）在x軸上方，拋物線l上是否存在一點P，使由點A，C，B，P構成的四邊形為中心對稱圖形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點B的坐標為（3，1）；（2）y＝x2﹣x﹣2；（3）點A1在拋物線上；理由見解析；（4）存在，點P（﹣2，1）．

【解析】

（1）首先過點B作BD⊥x軸，垂足為D，通過證明△BDC≌△COA即可得BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，從而得知B坐標；

（2）利用待定系數法，將B坐標代入即可求得；

（3）畫出旋轉后的圖形，過點作x軸的垂線，構造全等三角形，求出的坐標代入拋物線解析式即可進行判斷；

（4）由拋物線的解析式先設出P的坐標，再根據中心對稱的性質 與線段中點的公式列出方程求解即可。

（1）如圖1，過點B作BD⊥x軸，垂足為D，

∵∠BCD+∠ACO＝90°，∠AC0+∠OAC＝90°，

∴∠BCD＝∠CAO，

又∵∠BDC＝∠COA＝90°，CB＝AC，

在△BDC和△COA中：

∵∠BDC=∠COA，∠BCD＝∠CAO，CB=AC，

∴△BDC≌△COA（AAS），

∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，

∴點B的坐標為（3，1）；

（2）∵拋物線y＝ax2﹣ax﹣2過點B（3，1），

∴1＝9a﹣3a﹣2，

解得：a＝，

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2；

（3）旋轉后如圖1所示，過點A1作A1M⊥x軸，

∵把△ABC繞著點C逆時針旋轉90°，

∴∠ABC＝∠A1BC＝90°，

∴A1，B，C共線，

在三角形BDC和三角形A1CM中：

∵∠BDC=∠A1MC=90°，∠BCD=∠A1CM，A1C=BC,

∴△BDC≌△A1CM

∴CM＝CD＝3﹣1＝2，A1M＝BD＝1，

∴OM＝1，

∴點A1（﹣1，﹣1），

把點x＝﹣1代入y＝x2﹣x﹣2，

y＝﹣1，

∴點A1在拋物線上．

（4）設點P（t， t2﹣t﹣2），

點A（0，2），點C（1，0），點B（3，1），

若點P和點C對應，由中心對稱的性質和線段中點公式可得：

，，

無解，

若點P和點A對應，由中心對稱的性質和線段中點公式可得：

，，

無解，

若點P和點B對應，由中心對稱的性質和線段中點公式可得：

，，

解得：t＝﹣2，

t2﹣t﹣2＝1

所以：存在，點P（﹣2，1）．