Question

【題目】如圖，∠BAC的平分線交AABC的外接圓于點D，交BC于點F，∠ABC的平分線交AD于點E．

（1）求證：DE=DB.

（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圓的半徑；

（3）若BD=6，DF=4，求AD的長

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2 （3）9

【解析】

（1）通過證明∠BED=∠DBE得到DB=DE；
（2）連接CD，如圖，證明△DBC為等腰直角三角形得到BC=BD=4，從而得到△ABC外接圓的半徑；
（3）證明△DBF∽△ADB，然后利用相似比求AD的長．

（1）證明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABD，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠BED=∠1+∠3=∠2+∠4=∠5+∠4=∠DBE，

∴DB=DE；

（2）解：連接CD，如圖，

∵∠BAC=90°，

∴BC為直徑，

∴∠BDC=90°，

∵∠1=∠2，

∴DB=BC，

∴△DBC為等腰直角三角形，

∴BC=BD=4，

∴△ABC外接圓的半徑為2；

（3）解：∵∠5=∠2=∠1，∠FDB=∠BDA，

∴△DBF∽△ADB，

∴=，即=，

∴AD=9．