Question

【題目】如圖，拋物線交y軸于點A，并經(jīng)過B（4，4）和C（6，0）兩點，點D的坐標(biāo)為（4，0），連接AD，BC，點E從點A出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿線段AD向點D運動，到達點D后，以每秒1個單位長度的速度沿射線DC運動，設(shè)點E的運動時間為t秒，過點E作AB的垂線EF交直線AB于點F，以線段EF為斜邊向右作等腰直角△EFG．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點G落在第一象限內(nèi)的拋物線上時，求出t的值；

（3）設(shè)點E從點A出發(fā)時，點E，F，G都與點A重合，點E在運動過程中，當(dāng)△BCG的面積為4時，直接寫出相應(yīng)的t值，并直接寫出點G從出發(fā)到此時所經(jīng)過的路徑長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）t=；（3）當(dāng)t1=秒，此時路徑長度為，當(dāng)t2=5秒，此時路徑長度為．

【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；

（2）先表示G的坐標(biāo)，再把點G的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中列方程可得t的值；

（3）如圖2，先計算當(dāng)G在BD上時，t的值；

分三種情況進行討論：

①當(dāng)0≤t≤時，如圖3，作輔助線，根據(jù)S△BCG=S梯形GHDB+S△BDC﹣S△GHC，列式可得t的值，利用勾股定理求AG的長即可；

②當(dāng)G在BC上時，如圖4，根據(jù)同角的三角函數(shù)得tan∠C==2，則GH=2HC，列關(guān)于t的方程得：t=；當(dāng)＜t≤時，如圖5，同理可得結(jié)論；

③當(dāng)E與D重合時，F與B重合，如圖6，此時t=4，計算此時△BCG的面積為2，因此點G繼續(xù)向前運動；

當(dāng)t＞4時，如圖7，同理列方程可得結(jié)論．

試題解析：解：（1）將B（4，4）和C（6，0）代入拋物線得： ，解得： ，∴拋物線的解析式為： ；

（2）如圖1，由題意得：AE=t，∵A（0，4），B（4，4），∴AB⊥y軸，且AB∥x軸，∵OA=OD=4，∴△AOD是等腰直角三角形，∴∠ADO=∠BAD=45°，∴△AFE是等腰直角三角形，∴AF=EF=t，∵△EFG是等腰直角三角形，∴G（t+t，4﹣t），即：點G（t，4﹣t），將點G（t，4﹣t）代入到拋物線得：　4﹣t=，解得：t1=0（舍），t2=．

答：當(dāng)t=時，點G落在拋物線上；

（3）如圖2，連接BD，當(dāng)G在BD上時， t=4，t=，分三種情況討論：

①當(dāng)0≤t≤時，如圖3，過G作GH⊥x軸于H，延長HG交AB于M，則GM⊥AB，∵B（4，4），D（4，0），∴BD⊥x軸，∴S△BCG=S梯形GHDB+S△BDC﹣S△GHC，4=（4﹣t+4）（4﹣t）+×4×（6﹣4）﹣（6﹣t）（4﹣t），4=t，解得：t=，∴AM=t =×=，GM=t=×=，在Rt△AGM中，由勾股定理得：AG===；

∴當(dāng)t=時，此時點G運動的路徑長為；

②當(dāng)G在BC上時，如圖4，tan∠C==2，∴GH=2HC，∴4﹣t=2（6﹣t），t=，當(dāng)＜t≤時，如圖5，S△BCG=S△BDC﹣S梯形BDHG﹣S△GHC，4=×4×2﹣（4﹣t+4）（t﹣4）﹣×（4-t）（6-t），t=（不在此范圍內(nèi)，不符合題意）；

③當(dāng)E與D重合時，F與B重合，如圖6，t==4，∴G（6，2），∴AG==，∴S△BCG=S梯形BDCG﹣S△BDC=×2×（4+2）﹣×2×4=2，∴當(dāng)t＞4時，如圖7，由題意得：DE=t﹣4，∴OE=t﹣4+4=t，∴OH=OE+EH=t+2，EH=2，GM=GH=2，BM=t+2﹣4=t﹣2，CH=t+2﹣6=t﹣4，過G作MH⊥x軸，交x軸于H，交直線AB于M，∴S△BGC=S梯形BCHM﹣S△BGM﹣S△GCH，4=（t﹣4+t﹣2）×4﹣×2×（t﹣2）﹣×2×（t﹣4），t=5，當(dāng)t=5時，點G的運動路徑分為兩部分組成：

i）點G從A運動到D時，運動路徑為：如圖6中的AG長，即為；

ii）點G從D點繼續(xù)在射線DC上運動1秒時，路徑為1；

所以當(dāng)t=5時，此時點G運動的路徑長度為．

綜上所述：當(dāng)t1=秒，此時路徑長度為，當(dāng)t2=5秒，此時路徑長度為．