Question

（2012•南崗區三模）在矩形ABCD中，連接AC，已知AD：AC=4：5，點E在CB的延長線上，連接AE，過點A作AF⊥AE交射線DC于點F．
（1）當點F在DC上時，如圖1所示，求證：

4

3

BE+CF=AB；
（2）當點F在DC的延長線上時，如圖2所示，AF交BC于點K，連接EF交射線AB于點G，將△ACF沿著直線AF翻折，翻折后直線AC交EF于點H，若AG=

48

7

，GF：AC=4

2

：7，求KH的長．

Answer 1

分析：（1）利用相似三角形的判定得出△ADF∽△ABE進而得出AD：AB=4：3，即可得出DF=

4

3

BE進而求出

4

3

BE+CF=AB；
（2）首先利用平行線的性質得出

GF

AC

=

PG

PA

=

4 2

7

，再證明△PAG∽△PEA，求出AE的長，進而得出△AOK∽△EOH和△AOE∽△KOH，得出∠AEO=∠KHO=45°，
在△AKH中，tan∠KAH=tan∠KEH=

BG

BE

=

KN

AN

=

6 7

6

=

1

7

，求出KN即可得出HK的長．

解答：解：（1）∵AF⊥AE，
∴∠3+∠1=90°，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∵∠D=∠ABE=90°，
∴△ADF∽△ABE，
∴

DF

EB

=

AD

AB

，
∵AD：AC=4：5，
∴AD：AB=4：3，
∴DF=

4

3

BE，
∵AB=CD，DF+FC=CD，
∴

4

3

BE+CF=AB；

（2）如圖2，分別延長AC、EF交于點P，過點K作KN⊥AH于點N，
∵CF∥AG   
∴

GF

AC

=

PF

PC

，
∵CF∥AG，

PF

PC

=

PG

PA

，
∴

GF

AC

=

PG

PA

=

4 2

7

，
由題知∠AEB+∠EAB=90°，∠KAB+∠EAB=90°
∴∠AEB=∠KAB
可得∠ACB=∠AFE，又∵∠AKC=∠EKF，
且∠CAK=180°-∠ACB-∠AKC，∠FEK=180°-∠AFE-∠EKF，
∴∠CAK=∠FEK
∴∠CAK+∠KAB=∠FEK+∠AEB，即∠PAG=∠PEA
又∵∠P=∠P
∴△PAG∽△PEA  
∴

PG

PA

=

AG

AE

，
又∵

PG

PA

=

4 2

7

，

AG

AE

=

4 2

7

，
∵AG=

48

7

，
∴AE=6

2

，
在△AEG中，AE=6

2

，AG=

48

7

，tan∠AEG=

4

3

，可以得到∠EAB=45°，
∴AB=BE=6，BG=

6

7

，
由題意可知∠KAC=∠KAH，∴∠KAO=∠HEO
∵∠AOK=∠EOH
∴△AOK∽△EOH，∴∠EHO=∠AKO，且

AO

EO

=

KO

HO

，

AO

KO

=

EO

HO

，
又∠AOE=∠KOH，
∴△AOE∽△KOH，
∠AEO=∠KHO=45°，
在△AKH中，
tan∠KAH=tan∠KEH=

BG

BE

=

KN

AN

=

6 7

6

=

1

7

，
∵AK=6

2

，
∴設AN=7x，則KN=x，
則AK²=AN²+KN²，
即（6

2

）²=（7x）²+x²，
解得：x=

6

5

，
∵∠KHO=45°，∠KNH=90°，
則HK=

KN

sin45°

=

6 2

5

．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及銳角三角函數關系等知識，根據已知得出AK的長以及得出∠KHO=45°是解題關鍵．