Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，∠B=90，∠ACB=30，AB=2，AD=2AC，DC=2BC．

（1）求證：△ACD為直角三角形；（2）求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）根據勾股定理求出BC的長度，再根據勾股定理逆定理得出△ACD為直角三角形；

（2）根據四邊形ABCD的面積=△ABC的面積+△ACD的面積，列式進行計算即可得解．

（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，AB=2，∴AC=2AB=4（在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半）．

在Rt△ABC中，∵∠B=90°，∴BC2+AB2=AC2（勾股定理），∴．

∵AD=2AC，DC=2BC，∴AD=8，，∴AC2+CD2=16+48=64，AD2=64，∴AD2=AC2+CD2，∴△ACD為直角三角形，∠ACD=90°（勾股定理逆定理）．

（2）∵S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD，∴．