Question

我們知道，對于實系數方程ax²+bx+c=0（a≠0），若x₁、x₂是其兩實數根，則有ax²+bx+c=a（x-x₁）（x-x₂）=ax²-a（x₁+x₂）x+ax₁x₂，故有b=-a（x₁+x₂），c=ax₁x₂，即得x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．
根據上述內容，若實系數方程ax³+bx²+cx+d=0（a≠0）的三個實數根分別是x₁、x₂、x₃，則x₁+x₂+x₃=

 

； x₁x₂x₃=

 

．

Answer 1

分析：根據題目信息，把方程改寫成用x₁、x₂、x₃，表示的形式，然后再利用多項式的乘法展開，根據對應項系數相等列式即可求解．

解答：解：根據題意可得
ax³+bx²+cx+d
=a（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）
=a（x²-xx₁-xx₂+x₁x₂）（x-x₃）
=a（x³-x²x₁-x²x₂+xx₁x₂-x²x₃+xx₁x₃+xx₂x₃-x₁x₂x₃）
=ax³-a（x₁+x₂+x₃）x²+a（x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃）x-ax₁x₂x₃，
∴b=-a（x₁+x₂+x₃），d=-ax₁x₂x₃，
即得x₁+x₂+x₃=-

b

a

，x₁x₂x₃=-

d

a

．
故答案為：-

b

a

，-

d

a

．

點評：本題考查了根與系數的推廣，根據題目信息提供的解題思路，把方程寫成用根的形式表示，再根據多項式的乘法整理成一般形式是解題的關鍵，難度中等．