Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的邊AB在x軸上，∠ABC=90°，AB=BC，OA=1，OB=4，拋物線y=x2+bx+c經過A、C兩點．

（1）求拋物線的解析式及其頂點坐標；
（2）如圖①，點P是拋物線上位于x軸下方的一點，點Q與點P關于拋物線的對稱軸對稱，過點P，Q分別向x軸作垂線，垂足為點D，E，記矩形DPQE的周長為d，求d的最大值，并求出使d最大值時點P的坐標；
（3）如圖②，點M是拋物線上位于直線AC下方的一點，過點M作MF⊥AC于點F，連接MC，作MN∥BC交直線AC于點N，若MN將△MFC的面積分成2：3兩部分，請確定M點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由已知得：A（﹣1，0）、C（4，5），

∵二次函數y=x2+bx+c的圖象經過點A（﹣1，0）C（4，5），

∴ ，

解得 ．

∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3，

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴頂點坐標為（1，﹣4）

（2）

解：由（1）知拋物線的對稱軸為直線x=1，

設點P為（t，t2﹣2t﹣3），﹣1＜t＜3

∵P、Q為拋物線上的對稱點，

∴PQ=2|t﹣1|，

當t＞1時，d=2[2（t﹣1）+（﹣t2+2t+3）]=﹣2t2+8t+2=﹣2（t﹣2）2+10，

∵﹣2＜0，

∴當t=2時，d有最大值為10，即P（2，﹣3）；

當t＜1時，由拋物線的對稱性得，點P為（0，﹣3）時，d有最大值10，；

綜上，當P為（0，﹣3）或（2，﹣3）時，d有最大值10

（3）

解：過點F作FH⊥MN于H，過C作CG⊥MN于G，則∠ANM=∠ACB=45°，

∵MF⊥AC，

∴FH= MN，

∴ = = ，

∵A（﹣1，0，C（4，5），

∴直線AC的解析式為y=x+1，

設M（m，m2﹣2m﹣3），其中﹣1＜m＜4，則CG=4﹣m，

由MN∥BC得，N（m，m+1），

∴MN的長為：（m+1）﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m+4，

當 = 時，則3MN=4CG，即3（﹣m2+3m+4）=4（4﹣m），

解得m1= ，m2=4（舍去），

∴M（ ，﹣ ），

當 = 時，則2MN=6CG，即2（﹣m2+3m+4）=6（4﹣m），

解得m3=2，m4=4（舍去），

∴M（2，﹣3）．

綜上，當M的坐標為（ ，﹣ ）或（2，﹣3）時，MN將△MFC的面積分成2：3兩部分．

【解析】（1）利用待定系數法即可求得拋物線的解析式，進而轉化成頂點式，求得頂點坐標即可；（2）設點P為（t，t2﹣2t﹣3），﹣1＜t＜3，因為對稱軸x=1，所以PQ=2|t﹣1|，然后分三種情況討論即可求得；（3）過點F作FH⊥MN于H，過C作CG⊥MN于G，則∠ANM=∠ACB=45°，進而求得FH= MN，從而得出 = = ，根據A、C的坐標求得直線AC的解析式為y=x+1，設M（m，m2﹣2m﹣3），其中﹣1＜m＜4，則CG=4﹣m，由MN∥BC得N（m，m+1），求得MN的長為：（m+1）﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m+4，然后分兩種情況：當 = 時，則3MN=4CG；當 = 時，則2MN=6CG；列出關于m的方程，解方程即可求得M的坐標．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的概念的相關知識，掌握一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數)，則稱y為x的二次函數，以及對二次函數的圖象的理解，了解二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點．