Question

如圖1，已知拋物線的頂點為A（2，1），且經過原點O，與x軸的另一個交點為B。
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上求一點M，使得第二、四象限的角平分線恰好平分∠AOM；
（3）連接OA、AB，如圖②，在x軸下方的拋物線上是否存在點P，使得△OBP與△OAB相似？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）∵此拋物線過原點（0，0）， ∴設y=ax2+bx， 將A代入得， ∴1=4a+2b， ∵A（2，1）為頂點， ∴=2， ∴b=-4a， ∴1=4a+2×（-4a）=-4a， ∴a=-， ∴b=1， ∴y=-+x；
（2）∵y=-x平分∠AOM，∠FOE=∠HOE=45°， ∴∠1=∠2，如圖①，作AE⊥OA，EN⊥ON（E在y=-x上）， ∴ON=OA，作AR⊥x，NS⊥y， ∴∠ORA=∠OSN=90°，且AR=1，OR=2， 在△OAR與△ONS中， ∴△OAR≌△ONS（AAS） ∴AR=NS=1，OR=OS=2， ∴N（-1，-2）， ∴l∶ON，y=2x M即為ON與拋物線交點， ∴ ∴ ∴M（-4，-8）；
（3）當△OAB∽△OBP時， ∠AOB=∠BOP， ∴OB平分∠AOP或∠ABP， ∴l：OP1必過點（2．-1）， ∴1∶OP1，y= ∴ ∴  ∴P1（6，-3）， ∴l：BP2必過點（2，-1）， ∴l：BP2，y= ∴ ∴ ∴P2（-2，-3）， 如圖②，連OP2，BP1，作P2Q⊥y軸， ∴P2Q =2，OQ=3， 在Rt△OP2Q中，OP2=， 由拋物線對稱性得OP2=BP1= ∴OP2≠OB，BP1≠ OB， ∴不存在P點（拋物線上）使△OBP與△OAB相似。