Question

【題目】如圖所示，點P是正方形ABCD的對角線BD上一點，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，連接EF，給出下列四個結論：①AP=EF；②△APD一定是等腰三角形；③∠PFE＝∠BAP；④PD=EC，其中正確結論的序號是_______.

Answer 1

【答案】①③④．

【解析】

連接PC，根據正方形的對角線平分一組對角可得∠ABP=∠CBP=45°，然后利用“邊角邊”證明△ABP和△CBP全等，根據全等三角形對應邊相等可得AP=PC，對應角相等可得∠BAP=∠BCP，再根據矩形的對角線相等可得EF=PC，對邊相等可得PF=EC，再判斷出△PDF是等腰直角三角形，然后根據等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的倍解答即可．

解：如圖，連接PC，在正方形ABCD中，∠ABP=∠CBP=45°，AB=CB，

∵在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP=PC，∠BAP=∠BCP，
又∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四邊形PECF是矩形，
∴PC=EF，∠BCP=∠PFE，
∴AP=EF，∠PFE=∠BAP，故①③正確；
∵PF⊥CD，∠BDC=45°，
∴△PDF是等腰直角三角形，
∴PD=PF，
又∵矩形的對邊PF=EC，
∴PD=EC，故④正確；
只有點P為BD的中點或PD=AD時，△APD是等腰三角形，故②錯誤；
綜上所述，正確的結論有①③④．
故答案為：①③④．