Question

【題目】如圖1．在△ABC中，矩形EFGH的一邊EF在AB上，頂點G、H分別在BC、AC上，CD是邊AB上的高，CD交GH于點I．若CI＝4，HI＝3，AD．矩形DFGI恰好為正方形．

（1）求正方形DFGI的邊長；

（2）如圖2，延長AB至P．使得AC＝CP，將矩形EFGH沿BP的方向向右平移，當點G剛好落在CP上時，試判斷移動后的矩形與△CBP重疊部分的形狀是三角形還是四邊形，為什么？

（3）如圖3，連接DG，將正方形DFGI繞點D順時針旋轉一定的角度得到正方形DF′G′I′，正方形DF′G′I′分別與線段DG、DB相交于點M、N，求△MNG′的周長．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）三角形；（3）4．

【解析】

(1)由HI∥AD，得到，求出AD即可解決問題；

(2)如圖2中，設點G落在PC時對應的點為G′，點F的對應的點為F′．求出IG′和BD的長比較即可判定；

(3)如圖3中，如圖將△DMI′繞點D逆時針旋轉90°得到△DF′R，此時N、F′、R共線．想辦法證明MN=MI′+NF′，即可解決問題.

(1)∵HI∥AD，

∴，

∴，

∴AD＝6，

∴ID＝CD﹣CI＝2，∴正方形的邊長為2；

(2)三角形，理由如下：

如圖2中，設點G落在PC時對應的點為G′，點F的對應的點為F′．

∵CA＝CP，CD⊥PA，∴∠ACD＝∠PCD，∠A＝∠P，

∵HG′∥PA，

∴∠CHG′＝∠A，∠CG′H＝∠P，

∴∠CHG′＝∠CG′H，∴CH＝CG′，

∴IH＝IG′＝DF′＝3，

∵IG∥DB，∴，

∴，∴DB＝3，

∴DB＝DF′＝3，∴點B與點F′重合，

∴移動后的矩形與△CBP重疊部分是△BGG′，

∴移動后的矩形與△CBP重疊部分的形狀是三角形；

(3)如圖3中，如圖將△DMI′繞點D逆時針旋轉90°得到△DF′R，此時N、F′、R共線．

∵∠MDN＝∠NDF+∠MDI′＝∠NDF′+∠DF′R＝∠NDR＝45°，

∵DN＝DN，DM＝DR，

∴△NDM≌△NDR，

∴MN＝NR＝NF′+RF′＝NF′+MI′，

∴△MNG′的周長＝MN+MG′+NG′＝MG′+MI′+NG′+F′R＝2I′G′＝4．