Question

【題目】已知⊙O的弦AB長為2，C是⊙O上一點，若，則的面積的最大值為________.

Answer 1

【答案】+1．

【解析】

首先過C作CM⊥AB于M，由弦AB已確定，可得要使△ABC的面積最大，只要CM取最大值即可，即可得當CM過圓心O時，CM最大，然后由圓周角定理，證得△AOB是等腰直角三角形，則可求得CM的長，繼而求得答案．

過C作CM⊥AB于M，

∵弦AB已確定，
∴要使△ABC的面積最大，只要CM取最大值即可，
如圖所示，當CM過圓心O時，CM最大，
∵CM⊥AB，CM過O，
∴AM=BM（垂徑定理），
∴AC=BC，
∵∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°，
∴OM=AM=AB=×2=1，
∴OA= =，
∴CM=OC+OM=+1，
∴S△ABC=ABCM=×2×（+1）=+1．
故答案為+1．