Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C．直線y＝x+3經過點A、C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）P是拋物線上一動點，過P作PM∥y軸交直線AC于點M，設點P的橫坐標為t．

①若以點C、O、M、P為頂點的四邊形是平行四邊形，求t的值．

②當射線MP，AC，MO中一條射線平分另外兩條射線的夾角時，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①滿足條件的t的值為2或﹣2+2或﹣2﹣2；②綜合以上可得t的值為

【解析】

（1）先根據直線解析式求出A、C兩點的坐標，把點A和C點的坐標代入y=-x2+bx+c得關于b和c的方程組，然后解方程組即可得到拋物線解析式；

（2）當OC∥PM，且OC=PM時，以點C、O、M、P為頂點的四邊形是平行四邊形，可得關于t的方程，解方程即可；

（3）分三種情況考慮，當MP平分AC、MO的夾角，當AC平分MP、MO的夾角，當MO平分AC、MP的夾角，可由圖形的性質得關于t的方程求解．

（1）在y＝x+3中，令x＝0，y＝3；令y＝0，x＝﹣4，得A（﹣4，0），C（0，3），

代入拋物線y=-x2+bx+c解析式得：，

∴拋物線的解析式；

（2）設P（t，），

∵四邊形OCMP為平行四邊形，

∴PM＝OC＝3，PM∥OC，

∴M點的坐標可表示為（t，t+3），

∴PM＝，

∴|＝3，

當﹣t2﹣3t＝3，解得t＝2，

當﹣t2﹣3t＝﹣3，解得t1＝﹣2+2，t2＝﹣2﹣2，

綜上所述，滿足條件的t的值為2或﹣2+2或﹣2﹣2；

（3）如圖1，

若當MP平分AC、MO的夾角，

則∠AMN＝∠OMN，

∵PN⊥OA，

∴AN＝ON，

∴t的值為﹣2；

如圖2，

若AC平分MP、MO的夾角，過點C作CH⊥OA，CG⊥MP，

則CG＝CH，

∵，

∴OM＝OC＝3，

∵點M在直線AC上，

∴M（t，t+3），

∴MN2+ON2＝OM2，可得，，

解得t＝﹣，

如圖3，

若MO平分AC、MP的夾角，則可得∠NMO＝∠OMC，過點O作OK⊥AC，

∴OK＝ON，

∵∠AKO＝∠AOC＝90°，∠OAK＝OAC，

∴△AOK∽△ACO，

∴，

∴，

∴OK＝，

∴t＝﹣，

綜合以上可得t的值為．