Question

【題目】已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN．

（1）在圖1中，若∠ABC=∠ADC=90°，求證：AB+AD=AC；

（2）在圖2中，若∠ABC+∠ADC=180°，則（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】

（1）根據角平分線的性質可得∠DAC=∠BAC=60°，又已知∠ABC=∠ADC=90°，所以∠DCA=∠BCA=30°，根據直角三角形的性質可證AC=2AD，AC=2AB，所以AD+AB=AC．
（2）根據已知條件可在AN上截取AE=AC，連接CE，根據AAS可證△ADC≌△EBC，得到DA=BE，所以AD+AB=AB+BE=AE，即AD+AB=AC．

解：（1）在Rt△ACD中，∠DCA=30°，Rt△ACB中，∠BCA=30°

∴AC=2AD，AC=2AB，

∴2AD=2AB

∴AD=AB

∴AD+AB=AC．

（2）（1）中的結論AD+AB=AC成立，

理由如下：如圖2，在AN上截取AE=AC，連接CE，

∵∠CAE=60°，

∴△ACE是等邊三角形，

∴∠DAC=∠CEB=60°，

∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，

∴∠ADC=∠EBC，

∵在△ADC和△EBC中，

，

∴△ADC≌△EBC

∴DA=BE

∵△CAE為等邊三角形，

∴AC=AE，

∴AD+AB=AB+BE=AE=AC，

∴AD+AB=AC．