Question

如圖：正方形ABCO的邊長為3，過A（0，3）點作直線AD交x軸于D點，且D點的坐標為（4，0），線段AD上有一動點，以每秒一個單位長度的速度移動．
（1）求直線AD的解析式；
（2）若動點從A點開始沿AD方向運動2.5秒時到達的位置為點P，求經過B、O、P三點的拋物線的解析式；
（3）若動點從A點開始沿AD方向運動到達的位置為點P₁，過P₁作P₁E⊥x軸，垂足為E，設四邊形BCEP₁的面積為S，請問S是否有最大值？若有，請求出P點坐標和S的最大值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了點A、D的坐標，可用待定系數法求出直線AD的解析式．
（2）本題的關鍵是求出P點的坐標．可先在直角三角形AOD中，用勾股定理求出AD的長，而后根據P點的速度及運動的時間求出AP的長，進而可求出PD的長，在直角三角形PED中，可根據PD的長和∠D的正弦和余弦值求出P點的坐標，進而可根據B、O、P三點的坐標用待定系數法求出拋物線的解析式．
（3）四邊形BCEP₁是個梯形，可設出P₁點的坐標（設P₁的橫坐標，根據直線AD的解析式表示出其縱坐標），那么OE就是P₁的橫坐標，P₁E就是P₁的縱坐標，根據梯形的面積公式即可得出S與P₁的橫坐標的函數關系式，進而可根據函數的性質得出S的最大值以及對應的P₁點的坐標．

解答：解：（1）設直線AD的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

3=b 0=4k+b

，
解得

k=- 3 4 b=3

．
解析式為：y=-

3

4

x+3．

（2）因為AP=2.5，AD=5，
所以P（2，1.5），
設過B，O，P的拋物線為y=ax²+bx+c（a≠0），
將B（-3，3），O（0，0），P（2，1.5），
則

3=9a-3b+c 0=c 4a+2b+c=1.5

，
解得

a= 7 20 b= 1 20 c=0

，
解析式為y=

7

20

x²+

1

20

x．

（3）設P（x，y），
則y=-

3

4

x+3
S=

1

2

（y+3）×（3+x）
即S=-

3

8

x²+

15

8

x+9
所以P₁（

5

2

，

9

8

）時，S_最大=

363

32

．

點評：本題考查了一次函數與二次函數解析式的確定、正方形的性質、解直角三角形、圖形面積的求法等知識點．