Question

【題目】現用棱長為1cm的若干小立方體，按如圖所示的規律在地上搭建若個幾何體．圖中每個幾何體自上而下分別叫第一層，第二層…第n層（n為正整數），其中第一層擺放一個小立方體，第二層擺放4個小立方體，第三層擺放9個小立方體…，依次按此規律繼續擺放．

（1）求搭建第4個幾何體需要的小立方體個數；

（2）為了美觀，若將每個幾何體的所有露出部分（不包含底面）都噴涂油漆，已知噴涂1cm2需要油漆0.2g．

①求噴涂第4個幾何體需要油漆多少g？

②求噴涂第n個幾何體需要油漆多少g？（用含n的代數式表示）

Answer 1

【答案】（1）30；（2）①11.2（g）．②（0.6n2+0.4n）g．

【解析】

試題分析：（1）觀察得到每層向上的面都為正方形，即每層的個數都為平方數，則搭建第4個幾何體的小立方體的個數=1+4+9+16；第n個幾何體第n層的個數為n2，所以總數為1+22+32+42+…+n2；

（2）①噴漆第四個幾何露在外面的表面積為：4×（1+2+3+4）+42=56（cm2），再用表面積×0.2，即可解答．

②第n個幾何體的所有露出部分（不含底面）的面積=4×（1+2+3+…+n）+n2，化簡后乘以0.2即可．

解：（1）搭建第4個幾何體的小立方體的個數=1+4+9+16=30；

（2）①噴漆第四個幾何露在外面的表面積為：4×（1+2+3+4）+42=56（cm2），

56×0.2=11.2（g）．

②第n個幾何體的所有露出部分（不含底面）的面積=4×（1+2+3+…+n）+n2=4×+n2=3n2+2n，

所以所需要的油漆量=（3n2+2n）×0.2=（0.6n2+0.4n）g．