Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知如圖所示的拋物線頂點的坐標為，且過點．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若點為拋物線對稱軸右側、軸下方一點，當時，求直線的解析式；

（3）平移（1）中的拋物線，記平移后拋物線的頂點為，頂點在直線上滑動，且平移后的拋物線與直線交于另一點，若點為平移前（1）中拋物線上的點，則當以、、三點為頂點的三角形是等腰直角三角形時，求出所有符合條件的點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）符合條件的點E的坐標為（4，-2）或（-2，4）或（ ）或（）．

【解析】

（1）由頂點坐標，設拋物線，然后將A點代入解析式，用待定系數法求解即可；

（2）過點B作BN⊥y軸，直線OP與拋物線對稱抽BM交于點F，結合矩形的性質求得，從而得到FO=FB，設MF=x，則FO=FB=4-x，利用勾股定理求x的值，確定F點坐標，從而用待定系數法求直線解析式；

（3）線段AB的長度可求，并且在拋物線滑動過程中，線段CD的長度也是不變的，始終等于AB，因此，問題就相當于一條定長線段CD在直線AB上滑動，若、、三點為頂點的三角形是等腰直角三角形，則按照∠KDC=90°，KD=DC；∠KCD=90°，KC=DC；∠CKD=90°，CK=DK三種情況分析，只需利用等腰直角三角形和一次函數的圖像性質求得AN的相應的距離，從而求平移后的直線解析式與原拋物線解析式相等時方程的解，可解得E點的坐標．

解：（1）由題意，設拋物線，將代入，得

，解得：

∴拋物線的解析式為：

（2）如圖：過點B作BN⊥y軸，直線OP與拋物線對稱抽BM交于點F

由題意可知，四邊形ONBM是矩形

∴

∴

∴FO=FB

由B（2，-4）可得，OM=2，MB=4

設MF=x，則FO=FB=4-x

在Rt△OMF中， ，解得：

∴F（2， ）

設直線OP的解析式為，把F（2， ）代入，得

解得：

∴直線OP的解析式為；

（3）∵A（0，-2），B（2，-4）

∴

拋物線滑動過程中，C與B為對應點，D與A為對應點，

∴

∴①當∠KDC=90°，KD=DC=時，

設過點K且平行于直線AB的直線KN（直線KN與y軸交于點N）的解析式為y=-x+n

設直線AB的解析式為，則 解得

所以直線AB的解析式為：y=-x-2

∴∠FAN=45°，

∴△NFA為等腰直角三角形，則

∴N（0，2）

則直線KN的解析式為y=-x+2

由此 ，解得或

∴E點坐標為（4，-2）或（-2，4）

②當∠KCD=90°，KC=DC=時，同理可求，E點坐標為（4，-2）或（-2，4）；

③當∠CKD=90°，CK=DK時，

過點K作KG⊥CD，此時，KG=NF=AF=，AN=2

∴N（0，0）

則直線KN的解析式為y=-x

由此 ，解得或

∴E點坐標為（ ）或（）

綜上所述，符合條件的點E的坐標為（4，-2）或（-2，4）或（ ）或（）．