Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣x2+bx+C與x軸交于點A（﹣1，0），B（﹣3，0），與y軸交于點C，頂點為D，拋物線的對稱軸與x軸的交點為E．

（1）求拋物線的解析式及E點的坐標；

（2）設點P是拋物線對稱軸上一點，且∠BPD=∠BCA，求點P的坐標；

（3）點F的坐標為（﹣2，4），若點Q在該拋物線的對稱軸上，以Q為圓心的圓過A、B兩點，并且和直線OF相切，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（﹣2，0）；（2）（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）；（3）（﹣2， ）或（﹣2，）

【解析】

（1）根據拋物線y=﹣x2+bx+C與x軸交于點A（﹣1，0），B（﹣3，0），利用待定系數法即可求得拋物線的解析式，配方后即可求得點E的坐標；

（2）根據點P是拋物線對稱軸上一點，且∠BPD=∠BCA，分情況結合三角函數的知識進行求解即可求得點P的坐標；

（3）根據題意可知點Q到點A的距離，從而可以得到點Q到直線OF的距離，然后根據銳角三角函數即可求得點Q的坐標，從而可以解答本題．

（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（﹣3，0），

∴，解得，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣4x﹣3，

∵y=﹣x2﹣4x﹣3=﹣（x+2）2+1，

∴點E的坐標為（﹣2，0）；

（2）如圖1所示，

∵y=﹣x2﹣4x﹣3，點A（﹣1，0），B（﹣3，0），

∴點C（0，﹣3），

∴AB=（﹣1）﹣（﹣3）=2，AC=，OC=3，BC=3，

作AF⊥BC于點F，

則，

即，

解得，AF=，

∴BF=，

∴CF=2，

∴tan∠ACB=，

設點P1的坐標為（﹣2，p），

∵∠BPD=∠BCA，

∴tan∠BPD=，

∵BE=1，

∴，

解得，P1E=2，

∴點P1的坐標為（﹣2，2），

同理可得，點P2的坐標為（﹣2，﹣2），

即點P的坐標為（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）；

（3）設過點O（0，0）和點F（﹣2，4）的直線的解析式為y=kx，

4=﹣2k，得k=﹣2，

∴直線OF的解析式為y=﹣2x，

當Q1在x軸上方時，設點Q1的坐標為（﹣2，t），如圖2所示，

∵以Q為圓心的圓過A、B兩點，并且和直線OF相切，

∴Q1A=，tan∠F=，

∴sin∠F=，

∴=，

即=，

解得，t=或t=（舍去），

同理可得，當Q2在x軸下方的位置時，t=，

∴點Q的坐標為（﹣2，）或（﹣2，）．