Question

【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB的垂直平分線分別交AB和AC于點D,E.

(1)求證:AE=2CE;

(2)連接CD,請判斷△BCD的形狀,并說明理由.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

（1）連接BE，根據線段垂直平分線的性質可得AE=BE，利用等邊對等角的性質可得∠ABE=∠A；結合三角形外角的性質可得∠BEC的度數，再在Rt△BCE中結合含30°角的直角三角形的性質，即可證明第（1）問的結論；

（2）根據直角三角形斜邊中線的性質可得BD=CD，再利用直角三角形銳角互余的性質可得到∠ABC=60°，至此不難判斷△BCD的形狀

(1)證明：連結BE，如圖．

∵DE是AB的垂直平分線，

∴AE＝BE，

∴∠ABE＝∠A＝30°，

∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝30°，

在Rt△BCE中，BE＝2CE，

∴AE＝2CE.

(2)解：△BCD是等邊三角形．

理由如下：

∵DE垂直平分AB，

∴D為AB的中點．

∵∠ACB＝90°，

∴CD＝BD.

又∵∠ABC＝60°，

∴△BCD是等邊三角形．