Question

【題目】將△ABC繞點B逆時針旋轉α得到△DBE，DE的延長線與AC相交于點F，連接DA、BF．

（1）如圖1，若∠ABC=α=60°，BF=AF．

①求證：DA∥BC；②猜想線段DF、AF的數量關系，并證明你的猜想；

（2）如圖2，若∠ABC＜α，BF=mAF（m為常數），求的值（用含m、α的式子表示）．

Answer 1

【答案】解：（1）①證明：由旋轉性質可知，∠DBE=∠ABC=60°，BD=AB。

∴△ABD為等邊三角形。∴∠DAB=60°。∴∠DAB=∠ABC。

∴DA∥BC。

②猜想：DF=2AF。證明如下：

如答圖1所示，在DF上截取DG=AF，連接BG，

由旋轉性質可知，DB=AB，∠BDG=∠BAF，

∵在△DBG與△ABF中，DB=AB，∠BDG=∠BAF，DG=AF，

∴△DBG≌△ABF（SAS）。∴BG=BF，∠DBG=∠ABF。

∵∠DBG+∠GBE=α=60°，∴∠GBE+∠ABF=60°，即∠GBF=α=60°。

又∵BG=BF，∴△BGF為等邊三角形。∴GF=BF。

又∵BF=AF，∴GF=AF。∴DF=DG+GF=AF+AF=2AF。

（2）如答圖2所示，在DF上截取DG=AF，連接BG，

由（1），同理可證明△DBG≌△ABF，BG=BF，∠GBF=α。

過點B作BN⊥GF于點N，

∵BG=BF，∴點N為GF中點，∠FBN=。

在Rt△BFN中，NF=BFsin∠FBN=BFsin=mAFsin．

∴GF=2NF=2mAFsin。∴DF=DG+GF=AF+2mAFsin。

∴。

【解析】

試題分析：（1）由旋轉性質證明△ABD為等邊三角形，則∠DAB=∠ABC=60°，所以DA∥BC。

（2）①如答圖1所示，作輔助線（在DF上截取DG=AF，連接BG），構造全等三角形△DBG≌△ABF，得到BG=BF，∠DBG=∠ABF；進而證明△BGF為等邊三角形，則GF=BF=AF；從而DF=2AF。

②與①類似，作輔助線，構造全等三角形△DBG≌△ABF，得到BG=BF，∠DBG=∠ABF，由此可知△BGF為頂角為α的等腰三角形，解直角三角形求出GF的長度，從而得到DF長度，問題得解。